Angolo_Triplo

Per avere un angolo che sia il triplo di un angolo dato è sufficiente riportare su una circonferenza tre corde, quindi tre archi, uguali e consecutive. Questa soluzione è semplice ma non si presta a considerazioni su quella che potrebbe essere la procedura inversa cioè quella che potrebbe servire per trisecare un angolo dato. Altre costruzioni geometriche nelle quali è possibile trovare un angolo triplo di un angolo dato ci sono anche in molti manuali di geometria elementare; due di esse sono semplici e non necessitano di particolari commenti.

La prima costruzione a sinistra è valida per tutti i triangoli isosceli e si ottiene tracciando la bisettrice di un angolo alla base. Nella seconda costruzione, a destra, si tratta di costruire ed utilizzare le proprietà di un particolare trapezio rettangolo OBEC che ha il lato obliquo OB doppio della base maggiore OC . Tracciata la parallela alle basi che passa per il punto medio del lato obliquo non è difficile provare che l'angolo OAE è triplo dell'angolo OAC.

Come si è detto queste figure non offrono grandi possibilità di sviluppo quindi passiamo ad altre costruzioni geometriche presentate da illustri esperti del passato.

Tracciata una circonferenza di centro O e diametro FA sia BOA un angolo assegnato minore o uguale di 60 gradi e sul prolungamento di OA prendiamo un punto C tale che
BO = BC. La retta BC taglia ulteriormente la circonferenza data in D. L'angolo FOD é triplo dell'angolo BOA.

Per costruzione il triangolo OBC è isoscele sulla base OC quindi gli angoli alla base BOC e BCO sono uguali. Tracciamo la corda BE parallela al diametro FA; dal parallelismo delle due rette si ha che gli angoli DBE e BCF sono uguali. L'angolo DBE è un angolo alla circonferenza che insiste sull'arco ED e che ammette come angolo al centro l'angolo EOD, dunque EOD è il doppio di BOA e quindi FOD è tre volte BOA.

La limitazione sull'angolo assegnato esprime il fatto che la retta BC interseca la circonferenza nel semipiano superiore dunque il punto C deve essere esterno o appartenere alla circonferenza data. Il caso limite si ha quando C coincide con A e il triangolo OBC è equilatero, quindi BOA deve essere minore o uguale a 60 gradi.

Se l'angolo BOA assegnato é compreso tra 60 e 90 gradi la costruzione non necessita di particolari modifiche. Per le stesse ragioni viste prima risulta che gli angoli BOA e BDE sono uguali. Ma BDE è un angolo alla circonferenza che ha l'angolo BOE come angolo al centro dunque BOE vale due volte BDE. Quindi l'arco ABE è triplo dell'arco BOA.

Esaminiamo ora quanto proposto sullo stesso tema dal francese Jean Guillaume Garnier (1776-1840). Garnier fu prima assistente di Lagrange, poi successore di Fourier all'École Polytechnique come professore di Analisi, quindi docente nell'Università di Gand in Belgio.

J.-G. Garnier, Réciproques de la Géométrie, séconde édition, Paris, 1810.

Consideriamo un triangolo ABC isoscele sulla base BC avente l'angolo al vertice B minore di 60 gradi. Sul lato obliquo BC prendiamo un punto CE tale che sia AE uguale alla base BC. Con centro in B tracciamo una circonferenza di raggio BC che interseca il prolungamento di AB in F. Il prolungamento di AE taglia la circonferenza in D. L'angolo ABD è triplo dell'angolo ABC.

IIl triangolo CAE è isoscele per costruzione ed avendo un angolo alla base in comune con il triangolo ABC risulta che gli angoli CAE e ABC sono uguali. L'angolo CAD è angolo alla circonferenza che ha come corrispondente angolo al centro l'angolo CBD, dunque CBD é il doppio di CAE quindi di ABC. Come immediata conseguenza l'angolo ABD è triplo dell'angolo ABC.

La condizione imposta all'angolo assegnato è necessaria perché il punto E deve appartenere al lato obliquo e questo ha il caso limite quando il triangolo ABC è equilatero. Con angoli in B superiori a 60 gradi la base AC risulta maggiore del lato obliquo e questa figura risulta impossibile.

Se l'angolo ABC é maggiore di 60 gradi la costruzione non richiede particolari modifiche. Basta prendere il punto E sul prolungamento del lato BC e prolungare AE fino ad incontrare la circonferenza in D. Come prima il triangolo CAE è isoscele sulla base CE e gli angoli CAE e ABC sono uguali. Ancora l'angolo CAD é un angolo alla circonferenza che ha come corrispondente angolo al centro l'angolo CBD quindi l'angolo ABD è triplo dell'angolo ABC.

Nei testi di entrambi gli autori le costruzioni esaminate sono preliminari allo studio della trisezione di un angolo qualsiasi. In sostanza si voleva valutare la possibilità di invertire una delle costruzioni precedenti per trisecare un angolo dato. Anche sapendo che questa operazione in generale è impossibile con gli strumenti della geometria classica, cioè riga e compasso, seguiamo l'interessante linea di indagine proposta da Sir John Leslie. Per assurdo ammettiamo che una costruzione con riga e compasso che triseca un angolo esista e cerchiamo di evidenziarne le proprietà. La costruzione utilizzata deriva direttamente dalla prima proposta di Leslie per triplicare un angolo, per rendersene conto basta tracciare una circonferenza con centro in C e raggio CO nella figura in basso.

Sia AOC l'angolo da trisecare e ammettiamo di essere riusciti a trovare l'angolo AOB che risolve il problema.

Costruito il triangolo OAC rettangolo in A mandiamo la retta parallela a OA passante per C e prolunghiamo OB fino ad incontrarla in D. Se M è il punto medio di CD per M mandiamo una parallela ad AC che incontra BD in N. Il triangolo CND risulta isoscele con angoli alla base uguali all'angolo AON. L'angolo CNO è angolo esterno del triangolo CND quindi somma dei due interni non adiacenti e questo porta a concludere che anche il triangolo OCN é isoscele sulla base ON. Ancora gli angoli OBA, CBN e BNC sono uguali tra loro perché i primi due sono opposti al vertice e il primo e il terzo perché complementari di angoli uguali ad AOB. In conclusione si ha

OC = CN = ND = NB

Su questa figura possiamo applicare i metodi della geometria analitica per determinare il luogo descritto dal punto D al variare dell'angolo AOC da trisecare. Fatte alcune posizioni, tenuto conto dell'uguaglianza trovata prima, dalla similitudine dei triangoli OHN e OKD si ha

da cui

Con un po' di pazienza si possono eliminare le radici e si arriva a

Questa è l'equazione di una curva trisettrice nota con il nome di «Concoide di Nicomede», una curva a due rami che talvolta, in relazione ai valori assunti dalle costanti a e b, può presentare anche un cappio. Il grafico della Concoide nel nostro caso è mostrato sotto. Tagliando la curva con una retta passante per l'origine si ottengono sia il punto D che il punto B della costruzione geometrica. La curva é di grado superiore al secondo e quindi non può essere costruita con riga e compasso.

Archimede, «Lemmi», Proposizione VIII

«Se una corda AB di una circonferenza è prolungata, e se si pone BC uguale al raggio della circonferenza; se poi si congiunge il punto C con il centro D della circonferenza, e se si prolunga CD fino in E, l'arco AE sarà triplo dell'arco BF.»

«Mandiamo EG parallela ad AB, tracciamo DB e DG. Poiché l'angolo DEG é uguale all'angolo DGE, l'angolo GDC sarà doppio dell'angolo DEG. Ma l'angolo BDC é uguale all'angolo BCD, e l'angolo CEG uguale all'angolo ACE; dunque l'angolo GDC sarà doppio dell'angolo CDB, e l'intero angolo BDG triplo dell'angolo BDC. Quindi l'arco AE che é uguale a BG sarà triplo dell'arco BF. Che è ciò che si doveva dimostrare.»