Arborescenze
 

Dalla raccolta dei problemi posti su “Educational Times” del 1884 prendiamo il numero 5850 proposto dal Prof. James Joseph Sylvester (1814-1897). Il tema riguarda i diagrammi ad albero.
Supponiamo che un albero si sviluppi seguendo una legge secondo la quale, iniziando dalla radice, ogni ramo termina in un nodo mediante il quale genera un numero fisso m di rami. I rami aventi un nodo ad una sola estremità sono detti liberi e la radice si considera come ramo libero.
I due alberi di figura hanno rispettivamente 9 e 10 rami liberi, radice compresa.

Dimostrare che se un albero ha n nodi allora il numero di rami liberi vale
Chiaramente il numero totale dei rami presente nell’albero vale

Partendo dalla base e risalendo verso la radice si osserva che ogni nodo, eccetto quello posto alla radice, è collegato ad un altro nodo mediante un ramo quindi i rami che non sono liberi sono

quindi il numero di rami liberi vale

 
Lo stesso tipo di calcolo è effettuato dal matematico francese Adolphe de Polignac (1817-1890) in un suo articolo presentato nel 1880 sul bollettino della S.M.F. (Société mathématique de France).
Il calcolo viene fatto utilizzando delle strutture chiamate stelle. Ogni stella è formata da un nodo dal quale escono r rami. Per ottenere un albero avente n nodi e’ necessario unire n stelle.
Quando si uniscono due stelle il numero di rami diminuisce di una unità in quanto quel ramo risulta condiviso e lo stesso ramo incrementa di una unità il numero di rami che non sono liberi in quanto ha un nodo ad entrambe le estremità. Quindi il numero di rami liberi vale

I due modi di calcolo portano al medesimo risultato in quanto

 
Concludiamo accettando l'invito formulato dal Prof. J. J. Sylvester nel quesito 3708 del 1886 dove si chiede di osservare il tipo di ramificazioni "trifurcal or quadrifurcal" che si possono ottenere tagliando con opportuni piani rispettivamente un tetraedro, un cubo oppure un ottaedro.