Aree_max

Dato il triangolo ABC mandiamo una parallela alla base BC che interseca i lati AB in D e AC in E. Sulla base BC prendiamo un punto P e mandiamo la retta AP che interseca DE in Q. Determinare la posizione del punto P sulla base BC in modo tale che risulti massimo il prodotto DQ per PC.

Posto

Dalla similitudine dei triangoli ADQ e ABP risulta

Il massimo si ottiene per

Sono date due rette parallele su una di esse prendiamo un segmento di estremi A, B e sia P un punto del segmento AB. Tra le due rette è dato un punto M. Le rette AM, BM e PM intersecano la parallela ad AB rispettivamente in D, C e Q. Determinare la posizione del punto P in modo tale che il prodotto PB per QD risulti massimo.

Posto

Dalla similitudine dei triangoli e AMP e MQD risulta

Il massimo si ottiene per

Sono date due rette parallele r, s; sulla retta r prendiamo un segmento AC e per A mandiamo una trasversale che taglia la s in B. Determinare il punto P di AB in modo tale che mandata la retta CP che taglia la retta s in D risulti minima la somma delle aree dei triangoli ACP e DPB

Posto

Dalla similitudine dei triangoli ACP e DPB risulta

Il minimo della somma delle aree si ha quando è minima la quantità

	e questo si ottiene quando		come è facile dedurre
dal fatto che

Dato che		La costruzione geometrica che consente di ottenere il punto P è semplice e consente di riformulare il
il problema proponendo la stessa costruzione che si utilizza per mostrare che il lato del quadrato e la sua diagonale sono
incommensurabili.