BAC '800
Dato un triangolo isoscele ABC di base BC = a e altezza AD = h, si conduca una parallela alla base BC che incontra i lati del triangolo in E ed F e si unisca il punto medio D della base con i punti E ed F.
Determinare la lunghezza di EF in modo tale che il volume individuato  dal triangolo AEF sia il doppio del volume individuato dal triangolo EDF mediante una rotazione completa della figura intorno alla base BC.

(Bacc. nov.1880)
 
Il volume del solido che si ha dalla rotazione del triangolo AEF rispetto alla base BC si ottiene come somma dei volumi di due tronchi di cono uguali ottenuto ruotando i due trapezi rettangoli uguali AEGD e AFHD meno il volume di un cilindro che si ha dalla rotazione del rettangolo EFGH. Posti

Dall'espressione del volume del "tronco" generico

il volume che si ha ruotando il triangolo AEF vale

Il volume ottenuto dalla rotazione del triangolo EDF si ottiene come differenza tra il solido del cilindro EFGH e il volume di due coni uguali ottenuti dalla rotazione dei due triangoli rettangoli uguali FDH  e  EDG

Dalla condizione del problema risulta

 
 
La base maggiore di un tronco di piramide regolare a basi parallele è un triangolo equilatero di cui è nota la lunghezza del lato; calcolare il lato della base minore, sapendo che il volume del tronco di piramide è uguale al volume del prisma  la cui base è la base maggiore del tronco di piramide e la cui altezza è la metà dell'altezza del tronco.

(Bacc. avril 1877)
 

Siano a il lato del triangolo equilatero che costituisce la base comune ai due solidi, x il lato del triangolo equilatero che costituisce la base minore del tronco di piramide e h l'altezza del tronco. Il volume del tronco risulta

La condizione espressa dal problema richiede che il tronco di piramide abbia lo stesso volume del prisma che ha un'altezza dimezzata, quindi

 
 
Dato un cerchio di raggio R si costruisce un triangolo equilatero con il  centro che coincide con quello del cerchio; su ogni lato dell'equilatero si costruisce un triangolo isoscele il cui vertice appartiene alla circonferenza del cerchio, poi si costruisce un tetraedro avente per base il triangolo equilatero, e per facce laterali i tre triangoli isosceli.
Si chiede di determinare il triangolo equilatero in modo che il volume del tetraedro sia massimo.
 
Posto

L’altezza h del tetraedro è un cateto del triangolo rettangolo che ha per ipotenusa HD e l’altro cateto OH quindi

da cui segue

Derivando si ottiene

e il massimo si ha per