Basi di numerazione
Dimostrare che, indipendentemente dalla base di numerazione utilizzata per esprimerli, tutti gli interi della forma

sono tutti dei numeri composti.

[E. C. Catalan]
 
Dato che i numeri assegnati sono formati unicamente dalle cifre 0 ed 1, scelta una certa base di numerazione b risulta che, indipendentemente dalla base scelta, si possono esprimere tutti gli interi come

Ricordando l'espressione della somma dei primi 2k termini consecutivi di una progressione geometrica di ragione b2 si ha

e, in particolare,

 
In quale sistema di numerazione gli interi

formano una progressione aritmetica finita? Calcolare la base del sistema di numerazione e la ragione della progressione aritmetica.

 
Sia b la base di numerazione che risolve il problema, in queste condizioni i tre interi assegnati risultano in progressione aritmetica, vale a dire che l'intero a2 e' la media aritmetica degli altri due; quindi scritti gli interi in base b risulta

Traducendo, per comodita', in base 10 i tre interi si ottiene facilmente anche la ragione d della progressione aritmetica: