Borda_sist

Nel 1784 il comandante Jean Charles Borda (1733-1799) presentò all'Accademia Reale delle scienze (di cui era membro permanente dal 1777) una Memoria sull'analisi dei sistemi elettorali; riprendiamo in estrema sintesi il contenuto di questo scritto.

Un comitato di n elettori deve eleggere al suo interno un presidente scelto tra m candidati. L’elezione avviene scrivendo sulla scheda i nomi di tutti i candidati in ordine di preferenza. Per stabilire il vincitore il metodo più semplice è quello di contare quante volte ogni candidato è comparso al primo posto e quindi prendere quello che ha ottenuto il maggior numero di primi posti. Questo metodo è certamente valido quando si hanno soltanto due candidati, ma se il numero di candidati è maggiore di due non tiene conto di alcune situazioni particolari ma significative.

Consideriamo ad esempio il caso di 21 elettori che debbono scegliere tra 3 candidati e supponiamo che l’elezione abbia dato l’esito riportato nella seguente tabella di scrutinio.

III

Usando il criterio sopra esposto il candidato A risulterebbe vincitore con 8 primi posti, seguito dal candidato B con 7 e da C con 6 primi posti; si deve però osservare che in questo modo risulterebbe eletto un candidato che è stato messo all’ultimo posto da 13 elettori su 21. Per eliminare questo inconveniente adottiamo un criterio diverso.

Per misurare il gradimento di ogni candidato attribuiamo ad ogni posizione sulla scheda un valore dando: 3 punti al primo posto, 2 al secondo ed 1 al terzo; in generale ad ogni primo posto sarà attribuito un valore pari al numero m dei candidati, al secondo posto il valore m – 1, …, all’ultimo posto il valore 1. Calcoliamo ora il gradimento medio conseguito da ogni candidato mediante una media pesata; dalla tabella di scrutinio si ricava che

In questo modo il vincitore risulta il candidato C seguito da B e A risulta ultimo. La tabella di scrutinio consente di verificare anche le vittorie nei 63 confronti diretti cioè quante volte un candidato ha conseguito un gradimento superiore a quello di un altro candidato, il tutto è riassunto nella tabella

	A	B	C
A	-	13	13
B	8	-	13
C	8	8	-
	16	21	26

anche in questo caso la classifica vede primo C con 26 vittorie, seguito da B con 21 e da A con 16.

Capitano di vascello J. C. de Borda
"Le Guerrier" (1781), "Le Solitaire" (1782)

Generalizziamo il problema cercando di evidenziarne le caratteristiche e i limiti. Sono dati n elettori ed m candidati, supponiamo che il candidato A abbia ottenuto x primi posti ed il candidato B, suo rivale diretto, abbia ottenuto y primi posti, sia m il valore attribuito ad ogni primo posto, m – 1 ad ogni secondo posto, …, e 1 il valore dell’ultimo posto. Poniamoci nel caso più sfavorevole per il candidato A cioè che tutti gli elettori che non lo hanno messo al primo posto lo abbiano messo sempre all’ultimo, e chi non ha messo B al primo posto lo abbia messo sempre al secondo posto. In queste condizioni il gradimento medio espresso a favore di ciascuno dei due candidati è dato da

Affinché A venga eletto dovrà essere

da cui segue che

vale a dire che nel caso di due candidati serve la maggioranza semplice, nel caso di 3 candidati una maggioranza qualificata e nel caso che il numero m dei candidati sia pari al numero n degli elettori serve l’unanimità; condizione assai difficile da ottenere!