Caravelli

Dal manuale di Vito Caravelli (1724-1800), noto matematico del suo tempo che fu nominato nel 1754 da Carlo di Borbone professore della Reale Accademia Militare di Napoli, riprendiamo alcune proposizioni che riguardano un antico problema.

Avvertimento

[...] tutte le operazioni che si fanno nella Geometria elementare per isciorre i problemi s'eseguono colla riga e col compasso […]. Onde que' problemi geometrici che, per isciorli, v'è bisogno dell'uso di detti strumenti, appartengono alla Geometria elementare; tutti gli altri poi che per isciorli, v'è bisogno dell'uso di altri strumenti, appartengono alla Geometria sublime.

PROP. XVIII. PROBL. VII

Date due rette, trovare la mezza proporzionale.

Soluzione

Fig. 99

Sieno A e B le due rette date. […] LM = A, MN = B […]. Dico essere MO la mezza proporzionale cercata […].

Avvertimento

Si noti che coll'istesso metodo si possono trovare anche tra due rette date 3, 7, 15, 31, ec. mezze proporzionali. Il trovare poi tante, quante ne contrassegnano i numeri, che tramezzano tra 1, 3, 7, 15, 31, ec. appartiene alla Geometria sublime, e non alla elementare.

Dal testo risulta chiaro che la ricerca della "mezza proporzionale" è la ricerca della media geometrica dei segmenti assegnati. Interessante è il secondo "avvertimento" dove, in sostanza, si dice che mediante la costruzione con riga e compasso proposta dalla Fig. 99 si possono

inserire m "mezze proporzionali" se e solo se

In effetti dati due numeri positivi a e b, volendo inserire tra di essi m medi geometrici si debbono trovare m + 2 numeri positivi che formino una progressione geometrica finita di m + 2 termini, dove a è il primo termine e b è l'ultimo.

Considerata la progressione geometrica

dovrà essere

da cui

quindi

la progressione finita che interessa diventa

Dunque l’autore, di fatto, afferma che appartengono alla Geometria elementare, quindi si possono risolvere con riga e compasso, soltanto i problemi di primo e di secondo grado o di grado superiore a condizione però che la loro soluzione dipenda dalla soluzione di una successione di problemi di grado minore o uguale al secondo.