Coniche, tangenti, lemniscate

 

 
Dal "Dublin examination papers" supplemento dello "University calendar" dell'Universitą di Dublino del 1850 riprendiamo un problema che riguarda la proprietą delle tangenti ad una conica. Dalla stessa pubblicazione ma del 1842 un problema che chiede la determinazione di un luogo geometrico: la lemniscata di Jacques Bernouilli (1694). Con una costruzione diversa da quella proposta dalla pubblicazione irlandese cercheremo un possibile nesso tra i due quesiti.
Il "Dublin examination papers" presentava una vasta collezione di problemi e quesiti, non solo di matematica, assegnati in ogni anno accademico agli esami dell'Universitą sia come prove di ingresso che di passaggio nei livelli intermedi dei diversi corsi di studi.
 

«In una conica una tangente mobile intercetta su due tangenti parallele due segmenti il cui rettangolo e' costante»

In questa sede non affronteremo il problema nella sua generalitą ma prenderemo in esame alcuni casi particolari relativi a circonferenza, ellisse ed iperbole.
 
Partiamo dalla circonferenza di centro O e raggio r e mandiamo due tangenti fisse per gli estremi A e B di un diametro. Quindi per un punto P della circonferenza mandiamo la «tangente mobile» che interseca le due tangenti fisse rispettivamente in Q e R. Bisogna dimostrare che al variare di P sulla circonferenza il prodotto di AQ per BR resta costante.
La figura ricorre spesso nella geometria elementare ed č sufficiente ricordare che

Il triangolo QOR é rettangolo in O, quindi per il secondo teorema di Euclide

da cui

 
Passiamo all'ellisse e mandiamo due tangenti agli estremi C e D dell'asse minore, per un punto P della conica mandiamo una tangente che interseca le precedenti in Q e R. Bisogna dimostrare che il prodotto CQ per DR é costante.
Data l'equazione dell'ellisse in forma canonica ed un suo punto P č nota l'equazione della tangente in quel punto

Intersecando la tangente in P con le tangenti in C e D rispettivamente di equazione y = b y = - b si ottengono le coordinate dei punti Q ed R e da questi le lunghezze dei segmenti di tangente

 

quindi

 
Mandando le tangenti all'ellisse nei vertici A e B le tangenti hanno equazione x = a e x = - a  e intersecando con la solita tangente in P si possono determinare le lunghezze dei segmenti di tangente

      

da cui

 
Nel casi dell'iperbole mandiamo le tangenti nei vertici A e B e per un punto P della conica mandiamo una tangente che interseca le precedenti in Q ed R. Bisogna dimostrare che il prodotto AQ per BR é costante.
Data l'equazione dell'iperbole in forma canonica ed un suo punto P č nota l'equazione della tangente in quel punto

intersecando la tangente in P con le tangenti in A e B rispettivamente di equazione x = - a  e  x = a si possono determinare le lunghezze dei segmenti

    

e il loro prodotto

 
Parliament Square, Dublin. College Street, Dublin.
 
«Data la base di un triangolo, se il prodotto dei due lati č uguale al quadrato  della metą  della base allora il luogo del vertice č una lemniscata di Bernouilli»
Sia AB la base del triangolo, poniamo l'origine del sistema di riferimento nel punto medio di AB e poniamo AO = OB = 1. Se C(x, y) č il vertice per ipotesi si ha

da cui segue l'equazione del luogo cercato che č una lemniscata di Bernouilli

Il effetti il problema si discosta di poco dalla definizione di lemniscata dove non si parla di un triangolo ma di due punti A e B, detti fuochi, e il prodotto delle distanze da un terzo punto C č pari al quadrato della metą della distanza tra A e B.
Per collegare il problema che porta alla lemniscata con i precedenti quesiti legati alle proprietą delle tangenti alle coniche possiamo partire da una costruzione che definisce lo stesso luogo in modo diverso. Cerchiamo allora il luogo che si ottiene al variare di un P punto preso su un'iperbole equilatera e definito dalla intersezione L della retta tangente in P alla conica e la retta passante per il centro dell'iperbole e perpendicolare alla tangente considerata.
Data l'iperbole equilatera riferita agli asintoti su di essa prendiamo il punto e consideriamo
l'intersezione L tra la tangente alla parabola in P e la normale alla tangente passante per l'origine del sistema di riferimento

Eliminando il parametro x0 tra le due equazioni si arriva ad un'equazione di quarto grado che rappresenta il luogo cercato

Se facciamo effettuare al sistema di assi cartesiani ortogonali una rotazione di 45 gradi con centro nell'origine

č possibile riconoscere facilmente il luogo come una lemniscata di Bernouilli.