cubo_di_segmento

Dicendo cubo di un segmento spesso si pensa ad un cubo avente la lunghezza dello spigolo pari alla lunghezza del segmento dato. Quello che ci interessa nel nostro caso e' invece trovare un segmento la cui lunghezza sia il cubo della lunghezza di un segmento assegnato. Affronteremo il problema iniziando dai sistemi di calcolo grafico per passare ad una costruzione che, pur non essendo espressamente pensata come strumento di calcolo, contiene il segmento cercato.

Luigi Cremona (1830 - 1903)

Nell'Ottocento uno dei massimi esperti di calcolo grafico fu il Prof. Luigi Cremona che introdusse in Italia l'insegnamento del calcolo grafico nelle scuole per ingegneri, prima a Milano (Istituto tecnico superiore di Milano, Politecnico dal 1866) poi a Roma (R. Scuola d'Applicazione per gl'Ingegneri di Roma). Il suo testo di riferimento fu "Elementi di calcolo grafico" del 1874, Stamperia reale di G. B. Paravia e C., Torino.

Da questo testo venne ricavato nel 1875 un libretto destinato ai Collegi Militari. Si tratta di una versione estremamente ridotta e anonima (20 pagine e due tavole di disegni) ma fedele al testo originale e questo ne garantiva la qualità in un periodo storico in cui il panorama editoriale dei testi scolastici era assai variegato.

All'epoca la situazione dei manuali scolastici italiani era, in generale, piuttosto difficile come testimonia la Circolare 24 febbraio 1875, n. 422 del ministro delle Pubblica Istruzione Ruggiero Bonghi (XII legislatura, secondo governo Minghetti, 1874-1876).

Da questo libretto possiamo trarre una soluzione generale del nostro problema che non si limita soltanto al cubo di un segmento ma è possibile dedurre una costruzione grafica che, dato un segmento unitario ed un segmento iniziale, consente di determinare un insieme di segmenti le cui lunghezze sono in progressione geometrica la cui ragione è la lunghezza del segmento iniziale dato. Al terzo passaggio si ottiene il cubo e proseguendo tutte le potenze successive.

Iniziamo da una progressione geometrica la cui ragione e' maggiore di uno. Basta tracciare un sistema di assi ortogonali e sulla retta delle ordinate indicare l'unità di misura e sulle ascisse la lunghezza della ragione q. Tracciamo quindi una retta passante per l'origine e tale che il punto A1 sia tale che OA1 = q e l'ascissa di A1 sia il segmento unitario Ou. Riportato OB1 = OA1 = q si procede a determinare A2 e si continua poi allo tesso modo per ottenere la successione di segmenti in progressione geometrica crescente.

quindi

Se prendiamo u sulla retta allora procedendo come nel caso precedente otteniamo una progressione geometrica decrescente.

quindi

Prendiamo ora in considerazione una costruzione geometrica nella quale compare un segmento la cui lunghezza e' il cubo di della lunghezza un segmento dato. Questa costruzione fu presentata da Tucher, R. ( M.A.; Mathematical Master in University College School, London) ai lettori di "Educational Times" nel 1885. R. Tucker fu socio, eletto nel 1865, della London Mathematical Society della quale fu anche Vice Presidente. Noi riprenderemo la sua dimostrazione con poche modifiche.

Dato il triangolo ABC, rettangolo in B, tracciamo la mediana AM e la bisettrice AN uscenti dal vertice A. Iniziamo dimostrando che pero ogni triangolo rettangolo come quello considerato si ha sempre BM > BN. Poiché l’angolo CAB e’ doppio dell’angolo NAB risulta

Veniamo ora alla proprieta’ dell’angolo MAN

Con centro in A tracciamo un arco di circonferenza di raggio AB che interseca la mediana AM in P. Da P mandiamo una perpendicolare ad AM che incontra la bisettrice AN in Q. Posto AB = AP = 1 risulta

Chiaramente con questa costruzione si avrà sempre PQ < NB perche' l'angolo NAB e' sempre minore di 45 gradi quindi NB < AB = 1.