Curva_trisettrice

Dagli "Annali di scienze Matematiche e Fisiche" di Barnaba Tortolini, Roma, 1852, riprendiamo una nota del Prof. Cesare Toscani dell'Università di Siena dal titolo "Sopra un teorema di geometria".

Nell'articolo l'autore presenta un teorema di geometria che conduce ad un luogo geometrico; la curva appartiene alla famiglia delle cardioidi di Riccati e si presta alla trisezione meccanica di un angolo, "rodonee trisecatrici".

Siena, il Duomo

Tracciamo due circonferenze aventi lo stesso raggio, una con centro in O e l’altra con centro in B, in modo tale che ciascuna passi per il centro dell’altra. Preso un punto P sulla seconda circonferenza mandiamo una tangente in P alla circonferenza e dal punto A mandiamo una perpendicolare alla tangente che la taglia in M. Uniti i punti M e P con il centro O della prima circonferenza si ha

La retta AM taglia la prima circonferenza in C e l'angolo ACB è retto, quindi PMCB è un rettangolo e CO = OB = BP = = CM. Il triangolo BOC è isoscele e il suo vertice punto O appartiene all’asse di BC che è anche asse di PM quindi O e' equidistante da P e da M dunque OM = OP , ne risulta che i triangoli OBP e OCM sono isosceli e uguali. Poniamo gli angoli alla base di questi triangoli isosceli pari ad alfa

Dato che OM = OP anche il triangolo POM è isoscele quindi

Consideriamo il luogo dei punti M al variare di P sulla circonferenza, e' una cardiode che può essere utilizzata come curva ausiliaria per la trisezione di un angolo.

Tracciato il luogo e preso un angolo MOD da trisecare uniamo A con M e mandiamo: una parallela ad AM passante per B, una perpendicolare ad AM passante per M ; queste due rette si intersecano in P e per la costruzione precedente si ha