Due problemi di Fisica

 

Prenderemo in esame la soluzione geometrica di due problemi di Fisica. Il primo problema è di idrostatica, il secondo problema è di ottica geometrica ed è riconducibile all'ottica di Euclide.

 
In un recipiente contenente del liquido viene praticato un foro ad una altezza H rispetto al fondo. Il liquido esce e lo zampillo tocca il piano orizzontale sul quale è appoggiato il recipiente ad una distanza S dalla parete del contenitore.
Si chiede di determinare a quale altezza
h sopra il foro si trova il livello del liquido.
 
Ammesso che il foro abbia una sezione molto piccola rispetto alla sezione del recipiente si ha che la velocità della superficie del liquido è trascurabile. Applicando il teorema di Bernoulli sulla superficie del liquido nel recipiente e sul foro di uscita si ha che la velocità di uscita del liquido, è ortogonale al recipiente, e vale

Separando il moto nelle sue componenti verticale e orizzontale si ha che liquido si muove in verticale con un moto di caduta libera e copre la distanza H in un tempo

mentre lo spazio S in orizzontale è percorso con moto rettilineo uniforme e quindi

Questa relazione può essere scritta in forma di proporzione

che serve per definire una costruzione geometrica equivalente.
 
Fissiamo come riferimenti la retta AB posta sulla superficie del recipiente, passante per il foro posto in A, e ortogonale in B alla base del contenitore. Costruito il rettangolo ABCD riportiamo sul lato  AD un segmento AE = AB = h , inoltre riportiamo sulla retta AB un segmento AF = AD = BC = S.
Tracciato il segmento FE mandiamo la parallela per D ad FE che taglia la retta AB in G. Dalla similitudine dei triangoli rettangoli GAD FAE si ha

Non resta che dividere GA in quattro parti uguali per ottenere

cioè l'altezza del liquido sopra al foro di uscita

     MA = h

 
 
Un'asta di lunghezza AB = l  è perpendicolare ad una retta posta sul piano orizzontale e ad una distanza BO = a da esso.
Si chiede la posizione di un punto
P sulla retta orizzontale tale che da P l'asta venga vista sotto un angolo massimo.
 
Definiamo le posizioni dell'estremità dell'asta rispetto al suolo ponendo AO = b, BO = a, e b - a  = l, inoltre sia PO = x. Dato che i triangoli AOP e BOP sono entrambi rettangoli in O gli angoli APO e BPO sono entrambi acuti quindi anche APB che ne è la differenza è acuto a sua volta. La tangente di APB  è una funzione monotona crescente dell'angolo APB che sarà massimo insieme alla sua tangente. Dunque

ma

e quindi

 
Tenendo presente l'identità

possiamo limitarci a studiare la funzione f(x) che corrisponde alla tangente a meno di una costante moltiplicativa. La  f(x) risulta superiormente limitata

e il segno di eguaglianza si ha per

che è l'ascissa del massimo in corrispondenza del quale si ha anche il massimo dell'angolo APB.
Dunque la costruzione geometrica si riduce alla determinazione della radice quadrata e a questo scopo si può utilizzare il Teorema di Euclide.

Se B' è il simmetrico di B  rispetto a O si costruisce la semicirconferenza di diametro AB' che intercetta la retta orizzontale passante per O nel punto P che è la soluzione del problema