Eq_II_Deg_Geo_Sol

In questa pagina esamineremo alcuni metodi geometrici elementari per la soluzione grafica delle equazioni di secondo grado. Alcune delle costruzioni geometriche considerate sono abbastanza note e sono state riprese, con poche varianti, anche in alcuni manuali scolastici italiani come

A. Socci, G. Tolomei, Elementi di Geometria, Felice Le Monnier, Firenze, 1947, pp 83-85.
Edizione rifatta dal Prof. Roberto Fortini.

Le costruzioni più semplici conducono tutte alla determinazione della lunghezza di due due segmenti di cui sono noti il prodotto delle lunghezze e la loro somma o la loro differenza.

Fissato il segmento OU di lunghezza unitaria lo si prolunghi del segmento UQ e si tracci la semicirconferenza di diametro OQ. Da parte opposta rispetto ad O, prolungando OQ di una quantità OP, si tracci la semicirconferenza di diametro OP. Mandata per U la perpendicolare a QP che taglia la semicirconferenza in A e da A la parallela a QP che taglia la seconda semicirconferenza in B. Si mandi la normale in B a QP che taglia OP in C.

Per il secondo T. di Euclide si ha

da cui

Ne viene l'equazione di secondo grado

e la rappresentazione delle sue radici

Questa costruzione funziona abbastanza bene quando, dal punto di vista algebrico, entrambe le radici hanno lo stesso segno. Non è difficile verificare i casi in cui le due radici sono coincidenti o l'equazione non ammette delle radici reali.

Se la retta AB è tangente alla circonferenza di diametro OP

Se la retta per A è esterna alla circonferenza di diametro OP

Sia ancora OU un segmento di lunghezza unitaria, lo si prolunghi del segmento UQ e si tracci la semicirconferenza di diametro OQ. Da parte opposta rispetto ad O, prolungando QO di una quantità OP, si tracci la circonferenza di diametro OP avente centro in D punto medio di OP. Mandata per U la perpendicolare a QP che taglia la semicirconferenza in A. Da A si mandi la parallela a QP che taglia la normale in O a QP nel punto B. La retta BD taglia la circonferenza in C ed E. Dimostriamo che i segmenti BE e BC rappresentano le radici reali di una certa equazione di secondo grado.

Osservato che per il secondo T. di Euclide si ha

Inoltre per il teorema della tangente e della secante mandate da un punto estero ad una data circonferenza risulta

Sostanzialmente il sistema consente di determinare la lunghezza di due segmenti: BE e BC di cui sono noti il prodotto UQ e la differenza OP. Ne viene l'equazione di secondo grado

e la rappresentazione delle sue radici

Se le radici hanno segno opposto il termine noto è negativo e l'equazione ammette sempre due radici reali distinte.

Data l'equazione

Nel piano dotato di un sistema di riferimento cartesiano di origine O riportiamo sugli assi i segmenti

Se M è il punto medio di UQ e se è C il punto di intersezione delle rette passanti per M e P e parallele agli assi allora la circonferenza di centro C e raggio r = CQ = CU

ha equazione

Le intersezioni di questa circonferenza con l'asse delle ascisse forniscono due segmenti che rappresentano le radici dell'equazione data. Anche in questo caso da un punto di vista geometrico si tratta dell'applicazione del teorema delle secanti mandate da un punto esterno ad una data circonferenza; questo porta a determinare la lunghezza di due segmenti di cui è dato il prodotto OQ e la media aritmetica OP.

Mediante questa costruzione si possono evidenziare facilmente anche i casi in cui la radice ammette due soluzioni coincidenti oppure non ammette soluzioni reali.