Equazione trascendente
 
Da un manuale del 1857 di E. Catalan riprendiamo un problema geometrico la cui soluzione e strettamente connessa con quella di un'equazione trascendente. "Dividere un cerchio in due parti equivalenti mediante una circonferenza avente il centro sulla circonferenza del cerchio assegnato".
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Dato un cerchio di centro O e raggio R prendiamo sulla sua circonferenza un punto P e tracciamo un arco di circonferenza QRS di centro P e raggio PQ = r, 0 < r < 2R, e poniamo l'angolo QPS = x (Figura 1). L'angolo POQ = p - x (radianti) perché il triangolo POQ è isoscele, quindi PQ = r = 2R cos(x/2) da cui segue r2 = 2R2[1+ cos(x)]. Per ipotesi la somma delle aree del settore circolare PQRS e dei due segmenti di cerchio uguali PMQ e PNS  deve essere la metà dell'area del cerchio assegnato dunque S(PQRS) +2S(PQM) = pR2/2. Quindi

da cui si ottiene l'equazione

Dalla Figura 2 si ottengono facilmente delle limitazioni di natura geometrica da imporre all'equazione trovata

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Dal grafico della funzione Figura 3, si osserva che l'equazione trovata ammette
infinite radici ma l'unica che interessa il nostro problema è la più piccola radice positiva, Figura 4. Per determinare la soluzione dell'equazione trovata:

   ,   

è necessario far ricorso a dei metodi numerici approssimati che danno
x = 1.906 radianti cioè x = 109,187 gradi vale a dire r = 1,159 R