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Facciamo un passo indietro
per vedere l'impiego delle equazioni funzionali fatto da A.
M. Legendre in campo geometrico.
Alle pp. 286-287 del suo «Éléments
de Géométrie» del 1823 l'autore deduce la formula dell'area
del rettangolo mediante la soluzione di una equazione
funzionale, ipotizzando la continuità della funzione che
esprime l'area e l'additività della stessa. |
| Dato un rettangolo di lati
a
e b
sia f(a,b)
la funzione che ne esprime l'area. Se si
incrementa il lato a
di una quantità x
allora l'area del nuovo rettangolo sarà
f
(
a +
x,b
), e dall'additività
dell'area si ha |
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| Ponendo successivamente
x
= a,
2a,
3a,
... na,
si ottiene |
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| da cui si deduce che i rapporti
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| sono costanti, quindi la
funzione f(a,b)
e' indipendente da a
e analogamente si dimostra che è indipendente anche da
b
quindi |
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| non è restrittivo porre
k
= 1 quindi |
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f(a,b)
= ab |
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