Erone_Area

Alexandre Joseph Hidulphe Vincent
1797-1868

In questa pagina andremo a riprendere una dimostrazione geometrica della formula di Erone che consente di determinare l'area di un triangolo note le lunghezze dei lati. La andremo a riprendere dagli "Extraits des manuscrits relatif à la géométrie pratique des Grecs" di A. J. H. Vincent, Imprimerie Impériale, Paris, 1858. La stessa dimostrazione verrà riproposta nel 1861 sui "Nouvelles annales de mathématique". Le modifiche apportate alla dimostrazione originale non sono sostanziali. Sono stati sviluppati alcuni calcoli senza far ricorso alle operazioni formali tipiche del calcolo delle proporzioni adottando invece un linguaggio più algebrico.

A. J. H. Vincent fu un insegnante e dal 1850 membro dell' "Institut de France" , cioè un accademico (Académie des Inscriptions et Belles-Lettres), noto per le sue traduzioni dal greco di testi antichi di matematica e di musica. Fu insignito della Legion d'Onore il 14 agosto 1863.

Dato il triangolo ABC tracciamo la circonferenza circoscritta di raggio r con centro in H e tangente ai lati del triangolo AB, BC e CA rispettivamente in D, E ed F. Ne risulta

Osserviamo che per l'uguaglianza delle coppie di triangoli rettangoli che hanno in comune i vertici A, B e C del triangolo risulta

Prolungato il lato AB di un segmento BG = CE = CF e detti S l'area del triangolo e p il semiperimetro si ha

Mandiamo in B la perpendicolare al lato AB e in H la perpendicolare ad AH, queste due rette si incontrano in L e il quadrilatero AHBL è inscritto nella circonferenza che ha come diametro il segmento AL. Dato che nel quadrilatero inscritto la somma degli angoli opposti vale 180 risulta

Ne viene che i triangoli rettangoli ABL e HCE sono simili quindi

Anche i triangoli rettangoli HDK e KBL sono simili dunque

Continuando con l'ultima espressione trovata si ottiene

da cui moltiplicando numeratore e denominatore per le stesse quantità, rispettivamente AG e AD, ed applicando il T. di Euclide al triangolo rettangolo AHK si ricava