Esagoni

A. Amiot, A. Desvignes, Solution raisonnée des problèmes énoncés dans les éléments de geométrie de A. Amiot, Cinquième édition, Librairie Ch. Delagrave, Paris, 1873.

XXXIV^e Leçon, Problème XII

Costruire sette esagoni regolari uguali in modo che sei di essi abbiano due vertici posti su una circonferenza data e un lato in comune con il settimo esagono, che deve avere lo stesso centro della circonferenza assegnata. Dimostrare che il poligono concavo, formato da questi sette esagoni, è equivalente all'esagono regolare inscritto nella circonferenza data.

Ogni esagono regolare è composto da sei triangoli equilateri quindi il raggio della circonferenza circoscritta all'esagono è uguale al lato dell'esagono che è anche il lato di uno dei sei triangoli che compongono la figura. Se cerchiamo il raggio della circonferenza circoscritta all'esagono che ha area pari a 1/7 dell'area di un esagono regolare inscritto in una data circonferenza possiamo ricorrere alla similitudine tra le due figure: il rapporto tra le arre è pari al quadrato del rapporto di similitudine. Se come rapporto di similitudine prendiamo il rapporto tra i lati dei due esagoni, che corrisponde al rapporto tra i raggi delle circonferenze circoscritte si ha che

Per ottenere una costruzione con riga e compasso che consenta di determinare OB noto OP dividiamo il raggio OP in sette parti uguali, tracciamo la circonferenza di diametro OP e per la prima divisione posta in Q mandiamo una perpendicolare ad OP che taglia la circonferenza di diametro OP in R. Per il teorema di Euclide si ha

Questa è condizione necessaria ma non sufficiente perché non garantisce che aggiungendo altri sei esagoni uguali a quello centrale due vertici di ciascuno di questi sei esagoni appartengano alla circonferenza data.

Aggiungiamo allora un esagono uguale al precedente ad avente con esso un lato in comune e osserviamo che: OB = BC = CA = r, l'angolo BCA = 120, ed essendo il triangolo BCA isoscele sulla base AB si risulta

Il segmento AB è mediana del triangolo OAC e per il teorema della mediana si ha

Dunque la tesi è vera ed è possibile realizzare con riga e compasso la figura richiesta.