Diofanto - Fermat
 

COMPENDIO DELL'ARITMETICA DI DIOFANTO
CON LE OSSERVAZIONI DI P. FERMAT
Libro III

 

VII, VIII. Trovare tre numeri la cui somma sia un quadrato e tali che la somma di due qualsiasi di essi sia un quadrato.

Soluzione. Poniamo (N+1)2 la somma dei tre numeri; supponiamo che il primo sia 2N+1, la somma degli altri due sarà N 2. Poniamo gli altri due numeri uguali a N 2 - 4N e 4N; tutte le condizioni saranno allora soddisfatte se 6N+1 è un quadrato, ad esempio N = 8.

 

E. Brassinne, Oeuvres Mathématiques de P. Femat, 
Imprimerie de Jean-Matthieu Douladoure, Rue Saint-Rome,
N° 41. Toulouse, 1853.

    

La soluzione del problema espressa in notazione corrente diventa

 

Nel testo viene fornita una soluzione a titolo di esempio e vale la pena ottenere l'insieme completo; da
si ricava
In generale il problema consiste nella soluzione in interi del sistema
Sommando tra loro le ultime tre equazioni e tendo conto della prima, di fatto, il problema propone delle soluzioni in interi dell'equazione
sullo stesso tema è nota anche l'identità
e in generale vale il Teorema (Gauss): affinché un intero positivo n sia somma di tre quadrati è necessario e sufficiente che sia