Fis_mod

Da un testo del 1832, quarta edizione: «Esempi, formule e problemi di calcolo letterale e di algebra» di Meier Hirsch (1765-1851), professore a Berlino, riprendiamo un problema che e' la base di molti quesiti che ricorrono ancora con una certa frequenza nei libri di giochi, test psicologici e attitudinali. Lo stesso problema, con gli stessi dati numerici, si trova anche negli esercizi del francese Orly Terquem (1782-1862), Exercices de Mathématiques elementaires, Bachelier, Paris, 1842. Noi ne daremo una soluzione rapida di tipo algebrico e analizzeremo il modello geometrico che sottende a molti problemi di questo tipo.

«Un bacino viene riempito d'acqua mediante due tubazioni che hanno portate diverse. Se le due linee funzionano assieme il bacino si riempie in 12 minuti mentre utilizzando una sola conduttura si riempie in 20 minuti. Si chiede il tempo che impiegato a riempire il bacino usando soltanto l'altra condotta.»

Siano: V il volume del bacino, Q' e Q'' rispettivamente le portate delle due condutture misurate in V/min cioè volumi del bacino al minuto. Quando le condutture assieme hanno riempito il bacino si ha: V = (Q' + Q'')T = (V/t' + V/t'')T, dove t' e t'' sono i tempi impiegati singolarmente dalle due condutture per riempire il bacino mentre T è il tempo impiegato a riempire il bacino quando agiscono contemporaneamente.
Dalla relazione precedente si ottiene 1/t' + 1/t'' = 1/T che nel nostro vaso diventa 1/20 + 1/t'' = 1/12 da cui t'' = 30 minuti e il volume V del bacino è del tutto irrilevante.

Per illustrare il modello geometrico che sottende al problema possiamo riformularlo in modo da ottenere un nuovo problema di fisica. In orizzontale l'asse del tempo e in verticale quello delle distanze.

Due soggetti inizialmente posti ad una dista AB si muovono verso l’altro. Il primo, partendo da A percorrerebbe l’intero tratto AB in un tempo rappresentato da BD. Il secondo, partendo da B per fare lo stesso percorso impiegherebbe un tempo rappresentato da AC. Se partono simultaneamente e si muovono di moto rettilineo uniforme dopo quanto tempo si incontreranno?

Chiaramente si chiede quanto vale AG = HE = BF.

Dalla figura emerge immediatamente che i triangoli rettangoli BEF e BAC sono simili quindi

da cui si deduce il tratto di percorso fatto dal soggetto partito da B per incontrare in H quello partito da A

Anche i triangoli rettangoli AGE e BAC sono simili quindi

e in questo caso si ricava il tratto di percorso fatto dal soggetto partito da A per incontrare in H quello partito da B

Dato che

allora

da cui

Questa e' la formula risolutiva applicabile ai due quesiti proposti. Una volta fissati due dati iniziali e' possibile ricavare il terzo elemento incognito; la distanza AB e' del tutto irrilevante. Anche se il modello geometrico diventa piu' complicato il problema puo' avere un numero maggiore di variabili ma la sua struttura non cambia come si vedra' nel prossimo esempio.

Chiudiamo con un problema analogo che si trova in

Nicola Alberto De Carlo, Giochi Psicologici, Arnoldo Mondadori Editore, Verona, 1983. Pagina 120, problema 17.

«Un leone, un leopardo e uno sciacallo divorano insieme una zebra. Il leone da solo divorerebbe la zebra in un'ora. Il leopardo impiegherebbe tre ore, lo sciacallo addirittura sei ore. In quanto tempo divorano insieme la zebra?»

Elenchiamo nell'ordine le velocità con le quali ogni animale da solo divorerebbe la zebra misurate in zebre/ora: 1, 1/3 e 1/6 . I tre animali iniziano assieme a divorare la preda e procedono ad una velocità pari alla somma delle tre velocità cioè:
1 + 1/3 +1/6 = 3/2 zebre/ora, quindi per divorare 1 zebra impiegheranno 2/3 di ora vale a dire 40 minuti.