Foch



Maréchal Ferdinand Foch (1851-1929) ( x 1871)

Nel 1919 venne stampata la quinta edizione dell'opera "Des principes de la guerre", una raccolta delle conferenze tenute nel 1900 alla "École Supérieure de Guerre" dall'allora tenente colonnello Foch. Analizzando la conduzione delle operazioni militari relative alla battaglia di Nachod (attuale Repubblica Ceca, guerra del 1866 tra Prussia ed Austria) l'autore mette in evidenza un problema di tempo minimo necessario per raggruppare una formazione che si muove in colonna.

Una divisione in movimento forma una colonna lunga circa 15 km e per assumere una formazione adatta a fronteggiare le formazioni avversarie deve raggrupparsi: i reparti posti in coda alla colonna devono raggiungere la testa della formazione. La velocità di spostamento dei reparti dipende da diversi fattori ma il tempo impiegato è sicuramente proporzionale allo spazio da percorrere, quindi ci limiteremo a considerare lo spazio che dovranno percorrere i reparti più lontani per raggiungere la testa del gruppo. Per giungere nella posizione assegnata la colonna ha a disposizione più strade parallele che distano tra loro 3 km e il comandante ha la possibilità di suddividere la divisione in più brigate uguali che potranno spostarsi parallelamente, seguendo strade diverse, per poi ricongiungersi nel punto di arrivo nel più breve tempo possibile. In figura sono schematizzate 3 possibilità: l'intera divisione su una sola strada, su due e su tre strade. Il percorso che deve avere lunghezza minima, quindi minimo tempo di percorrenza, è quello che porta da B ad A.

Nel primo caso la lunghezza della colonna è L = 15 km, nel secondo ogni brigata è lunga L/2 = 7,5 km, nel terzo ogni brigata è lunga L/3 = 5 km, la distanza tra le brigate, cioè tra le strade, è sempre d = 3 km.
Generalizziamo il problema, posto n il numero delle strade, per prima cosa studiamo la convenienza dei percorsi su più strade rispetto alla colonna unica. Se S(n) è la lunghezza del percorso BA si ha

quindi conviene frazionare la colonna quando la distanza tra le strade è inferiore alla lunghezza delle brigate che si ottengono ripartendo la colonna in parti uguali su ciascun percorso.

Con i dati del problema il grafico della funzione

mostra che il percorso minimo si ottiene utilizzando due strade S(2) = 10,5 km. Per rendersi conto della presenza del minimo conviene passare da una variabile discreta n ad un numero reale positivo x maggiore o uguale a 1 e studiare la funzione