Giochi e pubblicità 3

  
 
 
 
 
Concludiamo presentando gli ultimi due problemi presi dalla pubblicità della ditta Achille Banfi di Milano comparsa nel 1911 su due quotidiani locali di Mantova: «La Provincia di Mantova» e «Il Cittadino». La campagna pubblicitaria era a livello nazionale e il problema dei tre boccali di vino comparve anche sul settimanale «La Città di Brindisi» del 26 marzo 1911.
Un'ampia rassegna dei giornali d'epoca della provincia di Mantova si può trovare presso la Biblioteca Teresiana di Mantova e si possono consultare anche in forma digitale.

http://www.bibliotecateresiana.it/
 
 
«Un vinaio possiede tre boccali che contengono esattamente 8, 5 e 3 litri.
   Il boccale di 8 litri è pieno di vino, gli altri due sono vuoti.

   Come potrà il vinaio senza l'aiuto di alcuna misura fare due parti uguali, di 4 litri l'una.».
 
8  5  3
 
 
 
A B C
8 5 3
8 0 0
3 5 0
3 2 3
6 2 0
6 0 2
1 5 2
1 4 3
4 4 0
 
Indichiamo A, B e C i boccali di capacità massima rispettivamente 8, 5 e 3 litri.
All'inizio A è pieno mentre B e C sono vuoti. Si inizia versando 5 litri in B che risulta pieno. Con il contenuto di B si può riempire C. Si riversano i 3 litri contenuti in C nel boccale A e i 2 litri rimasti i B si spostano in C. A questo punto la situazione è (6,0,2). Utilizzando il contenuto di A si riempie B. Utilizzando il contenuto di B si rabbocca C fino al massimo dei 3 litri. Adesso basta riversare il contenuto di C in A e si arriva a (4,4,0) come richiesto dal problema, il tutto in 7 mosse.
 
A B C
8 5 3
8 0 0
5 0 3
5 3 0
2 3 3
2 5 1
7 0 1
7 1 0
4 1 3
4 4 0
 
Il problema è antico e lo si trova nel «Trattato d'aritmetica» di Paolo dell'Abbaco (1370) , nel «De viribus quantitatis» (1496-1508) di Luca Pacioli, nel «General Trattato di pesi e misure» di Nicolò Tartaglia del (1556) e in «Problemes Plaisant & Delectables» di Bachet de Mezierac (1612).
A fianco la soluzione proposta da Luca Pacioli che si sviluppa in 8 mosse.
 
 
 
 
«Un Tizio possiede l grande somma di L. 999 che desidera impiegare in un acquisto di 100 capi di bestiame delle tre seguenti specie: Pecore, Maiali, Asini.
All'uopo si reca al mercato ed ivi contratta con un negoziante, che richiede delle pecore L. 7 al paio, dei maiali L. 25 ognuno e degli asini L. 40 ognuno.
Ora si domanda al curioso lettore quante pecore, quanti, maiali, quanti asini possa acquistare il suddetto Tizio, perché la cifra delle bestie raggiunga il numero di 100 e quello della somma impiegata L. 999.»
 
 
 
 
 
 
Indicate con x il numero delle coppie di pecore, con y il numero dei maiali e con z quello degli asini il problema si può ricondurre alla soluzione in interi in un sistema algebrico di due equazioni in tre incognite

che si può scrivere come

Da questa formulazione emerge chiaramente che se si cercano delle soluzioni in numeri interi il termine a destra dell'uguale nella prima equazione deve essere divisibile per 5 perché il termine a sinistra lo è certamente. Ne risulta

da cui segue

Risolvendo in y e z e ponendo k =3t si ottiene

Dato che x è il numero di coppie di pecore se ci interessa il numero di animali si ha

Restano da applicare le limitazioni al possibile numero di animali. Basta osservare che il numero z degli asini deve essere un numero intero maggiore o uguale a zero e minore di 999/40 = 24,975, questo significa che

quindi