Benjamin Gompertz  
 

interpretazione geometrica dei numeri immaginari.

  

 
Il matematico londinese Benjamin Gompertz (1779-1865) e' noto per il modello matematico utilizzato, in campo assicurativo per calcolare l'aspettativa di vita e quindi per determinare i premi delle assicurazioni. Gompertz lavorò a lungo in questo settore nella società fondata da Sir Moses Montefiore titolare della Alliance Assurance Company, una compagnia di assicurazioni che gravitava nella sfera degli interessi economici della famiglia Rothschild. Gli scritti di matematica attuariale di Gompertz iniziano nel 1820 e all'epoca l'autore era gia un noto matematico membro della Royal Society (1819) che si era segnalato con dei lavori sulle serie nel 1806  e sulle quantità immaginarie nel 1817.

 
Nel trattato sulle quantità immaginarie "The principles and application of imaginary quantities" Gompertz si confronta spesso con quanto contenuto nella memoria sui numeri complessi presentata dall'abate Bueé alla Royal Society. Lo scopo era di dare una interpretazione geometrica a queste quantità. In sostanza Gompertz era favorevole ad una interpretazione geometrica che tenesse conto dei risultati algebrici ottenuti da Eulero.

The principles and application of imaginary quantities , London, 1817

 

L'abate Adrien-Quentin Buée (1748-1826) fu un religioso parigino rifugiatosi a Londra durante la Rivoluzione. Dall'esilio, nel 1805, presentò alla Royal Society una lunga memoria in francese sui numeri immaginari. In sostanza il lavoro verteva sulla interpretazione geometrica di questi numeri e la trattazione veniva fatta attraverso la soluzione di una serie di problemi geometrici molti dei quali provenivano dalla "Géométrie de Position" (1803) di L. Carnot.
Philosophical Transactions of the Royal Society of London, MDCCCVI

The principles and application of imaginary quantities
Problem I
In un piano sono dati due punti A e B tali che AB = a. Determinare un punto P tale che:
Iniziamo chiedendo che il punto P appartenga alla retta AB e mettendo in equazione ponendo BP = x si ottiene
La quantità sotto radice è sicuramente negativa quindi, in queste condizioni, il problema è impossibile cioè non esiste sulla retta AB un punto P che abbia le proprieta' richieste. Cerchiamo allora un punto Q esterno alla retta AB che soddisfi alle stesse condizioni poste dal problema iniziale.
Dunque prendiamo un punto Q esterno alla retta AB e mandiamo una perpendicolare che incontra la retta AB in H e cerchiamo delle soluzioni utilizzando il risultato negativo trovato in precedenza cioè in modo tale che HP sia l’immagine complessa di HQ quindi poniamo
Con queste posizioni e' facile verificare che il problema ammette soluzione infatti risulta
Da un punto di vista strettamente geometrico il triangolo ABQ risulta essere isoscele perché ha due lati uguali in quanto
AB = BQ = a e poiché l’angolo QBH è esterno al triangolo isoscele ABQ si ha
In sostanza la tesi di Gompertz é che a questo risultato geometrico si poteva pervenire molto semplicemente utilizzando i risultati di Eulero cioè, con una notazione a noi più familiare,