A. S. Herschel  
 

somma degli angoli al vertice

  
 
A. S. Herschell 1836-1907
 
Dalla rivista londinese “The Quarterly Journal of pure and applied Mathematics”, del 1862 diretta da J.J. Sylvester riprendiamo un contributo del prof. Alexander Stewart Herschel.  A.S. Herschel (1836-1907) era figlio di Sir John Herschel (1792-1871) e nipote di Sir William Herschel (1738-1822) tutti astronomi e fisici di rilievo.
 
Il problema che ci interessa comprende geometria piana e solida; l’autore lo risolve utilizzando la trigonometria noi andremo per via geometrica.
 
 
Due triangoli rettangoli hanno in comune un cateto verticale di lunghezza 4 piedi e gli altri due cateti, posti orizzontalmente hanno lunghezza rispettivamente 2 e 3 piedi. La figura viene ripiegata lungo il lato comune, uno dei due triangoli ruota fino a quando i lati sul piano orizzontale diventano rispettivamente cateto ed ipotenusa di un terzo triangolo rettangolo.
Dimostrare che la somma degli angoli delle tre facce che concorrono nel vertice posto sul piano verticale del tetraedro che si è formato e’ pari ad un angolo retto.
 
Per ipotesi

da cui per il teorema di Pitagora

Facciamo ruotare il triangolo ABC intorno al cateto AB fino a quando il triangolo BCD diventa rettangolo in C cioe' ha come ipotenusa DB.
 Questo significa che

Poiche'

il triangolo DCA e' rettangolo in C. Le facce del  tetraedro sono quattro triangoli rettangoli: ABC e DBC entrambi retti in B e i triangoli ACD e DCB retti in C. Questo non dipende dai dati numerici del problema ma dal teorema delle tre perpendicolari:

 
Tracciamo lo sviluppo della superficie laterale del tetraedro tralasciando la base, costituita dal triangolo DCB, e tagliando lungo lo spigolo AD. Chiaramente

AD = AD' = 5.
Tracciamo il segmento DD', mandiamo la perpendicolare da D' al prolungamento di BC che si incontreranno in H e osserviamo che

Questo significa che i due triangoli ABC e CHD'  sono simili quindi

da cui

ma AD = AD' = 5 quindi il triangolo DAD'  e' isoscele e rettangolo in A e questo prova la tesi:

.