Huygens

Iniziamo da un articolo di P. Mansion comparso sulla rivista belga "Nouvelle correspondance mathématique" del 1875, diretta dallo stesso P. Mansion, docente all'università fiamminga di Gand, e da E. Catalan, docente nell'università vallone di Liegi. L'autore risolve, per via elementare, un problema risolto in precedenza mediante l'analisi da Picart (Nouv. Ann. de Math. 1874) e prima ancora da Lagrange (Mémoires de Turin, 1769) e da Huygens che lo aveva trattato per primo nell'ambito della teoria degli urti (Journal des Sçavans, 1669). Seguendo, grosso modo, il percorso tracciato da Mansion divideremo il problema in due parti: nella prima parte dedurremo un formula di massimo partendo da un noto minimo elementare, nella seconda applicheremo il risultato alla teoria degli urti.

problema di minimo

problema di massimo
duale del precedente

E' noto che dati due interi positivi, di cui è noto il prodotto, la loro somma e' minima quando sono uguali

La proposizione si puo' estendere ad un numero qualsiasi di interi positivi e a noi interessa in particolare per quattro interi

Adesso consideriamo la somma di tutti i possibili prodotti a due a due di questi quattro interi e considerando ogni prodotto come una nuova variabile si ha

Ancora consideriamo la somma di tutti i possibili prodotti dei quattro interi presi a tre a tre e otteniamo

Adesso, finalmente, consideriamo il problema

che può essere scritto in modo da facilitare molto la ricerca del suo minimo

Veniamo ora alla teoria degli urti considerando un urto centrale ed elastico tra due corpi puntiformi rispettivamente di massa m₁ che si muove di velocità V e che colpisce un corpo di massa m₂ inizialmente fermo. Chiamate con V₁ e V₂ le velocità dei due corpi dopo l'urto sappiamo che:

Nel problema che porta il suo nome Huygens considera tre corpi di massa rispettivamente m₁, m₂ ed m₃; inizialmente il primo corpo si muove a velocita' V mentre gli altri due sono fermi. Il primo corpo urta il secondo che dopo l'urto avrà una velocita' V₂, il secondo corpo urterà poi il terzo che dopo l'urto avra' una velocita' V₃. Note le masse m₁ ed m₃ si chiede la massa di m₂ in modo tale che la velocita' V₃ del terzo corpo risulti massima. Tutti gli urti sono centrali ed elastici.

Applicando la prima relazione all'urto tra le seconda e la terza massa si ha

La velocità V₃ e' massima quando e' minimo il denominatore e il denominatore è una funzione del tipo S ' visto sopra perche'se le masse del primo e del terzo corpo sono date il prodotto dei due rapporti e' costante e vale m₃/m₁. Dunque il denominatore e' minimo, quindi V₃ è massima, quando si ha l'uguaglianza tra i due rapporti m₂/m₁ = m₃/m₂ cioe' quando m₂ è la media geometrica tra m₁ ed m₃.