Hydrostat

Dalla rivista belga Mathesis del 1898, diretta da P. Mansion e J. Neuberg, riprendiamo l'articolo «Résolution hydrostatique de l'équation du troisième degré» dell'ingegnere belga Demanet.

In sostanza si tratta di un sistema di vasi comunicanti costituito da un recipiente cilindrico ed uno conico di forma opportuna. Il recipiente cilindrico ha area di base unitaria (1 cm²) mentre il cono è tale che la relazione che intercorre tra una data altezza e il corrispondente raggio e' data da

In questo modo quando il livello del liquido nel cono raggiunge l'altezza h il volume di liquido contenuto nel recipiente vale

Dato che l'area di base del cilindro e' unitaria se si versa nel sistema una quantità k di liquido risulta

e il numero che esprime l'altezza h (in cm) e' una radice reale e positiva dell'equazione polinomiale di terzo grado

Utilizzando altri recipienti aventi la forma di opportuni solidi di rotazione e' possibile ampliare il dispositivo per cercare una analoga soluzione dell'equazione polinomiale

Consideriamo la funzione reale, di variabile reale, definita sull'intervallo [0, h]

dove q e' un numero reale positivo. Facendo ruotare di un giro completo attorno all'asse delle ascisse la regione di piano delimitata dalla funzione e dall'asse delle ascisse nell'intervallo [0, h] si ottiene un solido di rotazione il cui volume e' dato da

Facendo assumere al numero q i valori 0, 1/2, 1, ... , (n-1)/2 si ottiene una famiglia di curve da cui deriva un insieme di solidi di rotazione i cui volumi valgono rispettivamente h, h², h³, ..., e risolvono il nostro problema. Vediamo i grafici delle prime cinque funzioni ricordando che per la prima si ha il cilindro la cui area di base deve essere unitaria.