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| «Un quadrato e un cerchio concentrici si sovrappongono. Trovare il valore minimo dell'area compresa tra le due figure.» fig.1. |
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| Per evidenti ragioni di simmetria ci si può limitare allo studio di un ottavo della figura fig.2. |
| Divideremo il problema in due casi. Nel primo caso manterremo costante la metà del lato del quadrato, che chiameremo con a, e faremo variare il raggio r del cerchio. Nel secondo caso manterremo costante raggio r del cerchio e faremo variare la metà del lato del quadrato. |
 3 |
| Nel primo caso fig.3 tracciamo un quadrato di lato a e una circonferenza di centro O e raggio OP che taglia il quadrato assegnato in P. Indichiamo con x l’angolo POB e fissiamo le condizioni del problema | |||
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| Mettiamo in equazione il problema determinando la funzione f che descrive l’area della regione di piano compresa tra le due figure. L’area che ci interessa e data dall’area del settore circolare POD meno l’area del triangolo rettangolo OBP più l’area del triangolo rettangolo OBA dalla quale sottrarre l’area del triangolo rettangolo OBP e quella del settore circolare COP. | |||
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| ricordando che | |||
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| con un po’ di pazienza si ottiene | |||
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| Dallo studio della derivata prima | |||
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| risulta che la funzione ammette un minimo in | |||
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| riassumendo alcuni dati del grafico | |||
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Dunque il minimo dell'area è in corrispondenza con la divisione della circonferenza in otto parti uguali. |
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Nel secondo caso fig.5 consideriamo
fissa la circonferenza di raggio
r.
La retta AB
taglia in P
la circonferenza e in A
la bisettrice del primo quadrante, quindi
AB
è la metà del lato del quadrato che taglia l’intera
circonferenza di centro O
e raggio r = OD. Indichiamo ancora con x l’angolo POB, e fissiamo le condizioni del problema |
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| il calcolo dell’area è del tutto analogo a quello fatto sopra e in questo caso risulta | |||
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che diventa |
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| Dallo studio della derivata prima | |||
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| la funzione g ammette un minimo quando | |||
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| risulta | |||
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| riassumendo alcuni dati del grafico | |||
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La somiglianza e le differenze tra i grafici delle funzioni discendono dal fatto che |
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