Desboves: equilibrio di una leva
 
 
Dal manuale "Questions d'algèbre élémentaire" , Paris, 1892 (seconda edizione), di Adolphe Honoré Desboves (1818-1888) riprendiamo un problema di fisica che si riferisce alle condizioni di equilibrio di un'asta rigida in grado di ruotare attorno ad un asse fisso. In sostanza si tratta di una variante particolare di un problema inerente una leva di secondo genere.
 
Adolphe Desboves fu professore di matematica presso il "Lycée Condorcet" a Parigi dove ebbe come alunno Henri Louis Bergson.
 
"La sortie du lycée Condorcet",  Jean Béraud, 1849-1935

http://lyc-condorcet.scola.ac-paris.fr/
 
E' data un'asta orizzontale di lunghezza variabile in grado di ruotare intorno ad un asse fisso posto in O. All'asta sono applicate ortogonalmente due forze: la forza resistente R posta ad una distanza a dall'asse di rotazione e la forza F(x) applicata all'estremità dell'asta, queste forze hanno versi opposti. L'asta e' omogenea, di lunghezza variabile x, ed ha un peso per unità di lunghezza di p N/m quindi il suo peso vale  P = px ed e' posto ad una distanza x/2 da O.
Si chiede di trovare la forza F(x) minima che consente l'equilibrio del sistema.
 
Per   0 < x < a   il problema non e' molto interessante: la sbarra risulterebbe di lunghezza fissa pari ad a, il peso della sbarra risulterebbe costante P = pa ed applicato in a/2, la forza F che mantiene in equilibrio il sistema si ottiene imponendo che sia nulla la somma dei momenti da cui segue

Molto piu' interessante e' la situazione quando x > a .
Sempre dalla somma dei momenti uguale a zero si ha

da cui

Questa funzione e' abbastanza semplice da studiare in quanto per x > a ammette un minimo in x0 che vale

in particolare se x0 > a  cioe' se 2R > pa allora le condizioni
 
fisiche del problema impongono di restringere lo studio della funzione a e dunque la funzione
decresce da x0 = a, dove vale la media aritmetica delle quantita'  pa e 2R, fino ad  x = x0, dove vale la media geometrica delle stesse quantita',  poi e' crescente.
Nel caso invece risultasse x0 < a  cioe' se 2R < pa  allora la situazione in relazione al minimo cercato e' mostrata dal grafico di destra.