Sistemi algebrici

  
 
 
 
Da un volume del 1843, pubblicato in francese, dal titolo «Recueil de Problèmes d'algèbre» (terza edizione), del matematico olandase Rehuel Lobatto (1797-1866) riprendiamo due sistemi algebrici provenienti dall'ultima sezione del testo. L'ultimo parte del manuale è dedicata ai «problemi vari» cioè a quei problemi di difficile classificazione rispetto ai criteri adottati nella stesura del testo.
 
 
 
• Risolvere il seguente sistema dove x ed y sono numeri reali positivi mentre m ed n sono interi positivi

Calcolando i logaritmi ad ambo i membri delle due equazioni, moltiplicando le equazioni ottenute membro a membro, semplificando ove possibile e sostituendo nella seconda equazione si ottiene

Per ottenere degli esempi numerici con soluzioni intere poniamo delle condizioni sugli esponenti m ed n. Se m = 4n si ottiene un'equazione di secondo grado

Tralasciando la soluzione banale x = y = 1 e facendo assumere ad n i valori 3 e 6 si ottengono due casi particolari

 

 
 

• Risolvere il sistema con  p e q interi positivi coprimi

 

 

Calcolando i logaritmi ad ambo i membri di entrambe le equazioni si ottiene

  Dal rapporto delle due equazioni e conservando la seconda si ha
da cui