Luvini

Nelle ultime pagine del "Compendio di geometria piana e solida" (sesta edizione del 1877) di Giovanni Luvini (1818-1892), professore all' Accademia Militare di Torino (1862-1885), compare come prima nota la "Dimostrazione del postulato di Euclide". Si tratta di una "dimostrazione" del V Postulato tratta dai lavori del matematico svizzero Louis Bertrand (1731-1812).

Bertrand studiò a Ginevra e a Berlino con Eulero e sviluppò la sua prova nell'opera "Développements nouveaux de la partie élémentaire des mathématiques" (1778), questa impostazione ebbe un certo successo fino alla formulazione delle geometrie non euclidee. Ripercorreremo la "prova" di Bertrand attraverso la nota che Luvini pose in appendice al suo testo dopo aver svolto tutta la teoria delle parallele seguendo fedelmente la trattazione euclidea.

Lemma 1. La lista o superficie compresa tra due rette parallele AB, CD, qualunque sia la distanza vicendevole di queste, è compresa in un piano un numero infinito di volte.

Infatti facendo girare la lista ABCD intorno ad AB, essa verrà a collocarsi nel suo piano in ABMN, e facendo girare questa intorno ad MN, ne otterremo una nuova posizione, e così potremo continuare all'infinito.

Lemma 2. Un angolo AOB, è contenuto nel piano un numero finito di volte.

Infatti facendo girare l'angolo AOB intorno a un suo lato, gli faremo prendere le posizioni successive segnate nella figura, e dopo un numero necessariamente finito di di simili operazioni copriremo l'intero angolo retto AOC. Continuando allo stesso modo oltre all'angolo retto, arriveremo a coprire successivamente due, tre e poi quattro angoli retti, ossia tutto lo spazio intorno al punto O nel piano della figura.

Corollario. Lo spazio angolare AOB intendendo i lati OA, OB prolungati all'infinito, è maggiore della lista ABCD compresa tra le parallele AB, CD prolungate pure all'infinito. Infatti il primo spazio è contenuto nel piano un numero finito di volte, il secondo un numero infinito. Questa verità ha luogo qualunque siano le grandezza dell'angolo e la distanza delle parallele.

Teorema. Siano AB, CD due rette che tagliate dalla CA facciano gli angoli interni interni dalla stessa parte BAC, DCA tali che la loro somma valga meno di due retti. Dico che le medesime prolungate sufficientemente s'incontreranno.

Infatti si tiri la retta AE tale che l'angolo HAE sia eguale ad ACD; sarà AE parallelo a CD, e sarà l'angolo HAE < HAB, poiché HAB è supplemento di BAC, e HAE = HAB è minore del supplemento di BAC per l'ipotesi fatta. [...]. Ciò premesso, essendo lo spazio angolare EAB maggiore della lista EACD, ed appoggiandosi questi due spazi ad un limite comune AE, la retta AB dovrà incontrare la retta CD, senza di che lo spazio angolare EAB sarebbe intieramente contenuto nella lista EACD, né potrebbe esserle maggiore.

Scolio. [...] La dimostrazione precedente si appoggia sulla considerazione dell'infinito. [...] Alcuni non badando alla distinzione degl'infiniti, quali sono gl'infiniti rappresentati dai simboli

misero in dubbio l'esattezza della data dimostrazione. [...] Perde ogni valore questa come tante altre obbiezioni qundo si consideri che lo spazio compreso tra due rette parallele AB, CD è un infinito di primo ordine, mentre lo spazio angolare AOB è infinito di secondo ordine, invero il primo di questi due spazi si può considerare come un rettangolo di base finita, eguale alla distanza delle due rette parallele, e di altezza infinita [...], mentre lo spazio angolare AOB corrisponde ad un parallelogrammo di base infinita e di altezza infinita, ossia vale infinite volte il primo.