Esami di maturità 

 

Austria-Ungheria 1891-93

  

Negli anni 1894, 1895 e 1896 la rivista "Periodico di Matematica per l'insegnamento secondario" (Roma) diretta da Aurelio Lugli pubblicò i «Temi di matematica dati per l'esame di maturità in Ginnasi e Scuole reali superiori dell'Austria-Ungheria alla fine degli anni scolastici 1891-92 e 1892-93». La raccolta dei temi e' suddivisa per tipo di scuola e per città dove avevano sede i vari istituti superiori. Ogni tema e' costituito da tre problemi e il candidato doveva risolverne almeno due su tre; la durata della prova era di quattro ore. I tre problemi coprono un'ampia gamma di contenuti: geometria piana, solida, sferica e analitica; algebra, trigonometria, aritmetica e matematica finanziaria. Raramente si notano le frazioni continue e i numeri complessi.

Dall'insieme di circa cento temi proposti ho selezionato cinque problemi per segnalare una tipologia ricorrente che si caratterizza per la presenza significativa dell'aritmetica e che, proprio per questo, mi sembra abbastanza distante dalla nostra tradizione recente.

Il "Periodico di Matematica" ha fornito solo le tracce, le soluzioni sono mie, ho cercato di essere estremamente sintetico e spero di non aver commesso troppi errori; sarò grato a chi vorrà segnalarmi imprecisioni o altro.
 
České Budějovice,
 in tedesco Böhmisch Budweis
Boemia, Repubblica Ceca
Budweis: i. r. Scuola reale superiore ted. 1892 – 1893
Degli angoli d'un triangolo acutangolo l'uno (espresso in gradi) e' divisibile per 11 l'altro per 13 e il terzo per 19. Che angoli ha il triangolo?
 
 
Detti x, y, z gli angoli del triangolo per ipotesi si ha

Facendo assumere all'intero n i valori n = 1, 2, 3, 4  possiamo suddividere il problema in altrettanti sottoproblemi da risolvere e discutere separatamente.
   
n = 1 Bisogna allora risolvere l'equazione in interi
 

  che ha come soluzione
 

  ma questa soluzione deve essere scartata in quanto il triangolo deve essere acutangolo.
n = 2 E' necessario allora risolvere l'equazione in interi
 

  che ha come soluzione
 

  e questa e' una soluzione accettabile.
n = 3 Si deve dunque risolvere l'equazione in interi
 

  che ha come soluzione
 

  ma questa soluzione deve essere scartata in quanto il triangolo deve essere acutangolo.
n =  4 Bisogna quindi risolvere l'equazione in interi
 

  che ha come soluzione
 

  ma questa soluzione deve essere scartata in quanto il triangolo non esiste.
   
 
Vienna: i. r. Scuola reale superiore nel III Circ. 1892 – 1893
Le lunghezze dei due cateti di un triangolo rettangolo sono dei numeri interi. Se si diminuisce il cateto maggiore di 14 m e si aumenta il minore di 8 m, si ottiene un triangolo rettangolo, la cui ipotenusa e' uguale a quella dell'originario. Che lati ha questo?
 
 
Se x e y sono i cateti del triangolo originario

e' la sua ipotenusa e quindi

Sviluppando i calcoli si arriva all'equazione in interi

che ammette come soluzioni

dunque sono infiniti i triangoli rettangoli che soddisfano le condizioni assegnate.
 
Trutnov
in tedesco Trautenau
Boemia, Repubblica Ceca
Trautenau: i. r. Scuola reale superiore ted. 1892 – 1893
Un tale ha impaccato in una cassa 100 libri che pesano 100 kg. Ogni volume in-foglio pesa 4 kg, ogni volume in-4° pesa 2 kg, ed ogni volume in-8° pesa 1/3 di kg. Quanti volume di ogni specie vi erano nella cassa?
 
 
Per ipotesi chiamati con x, y, z il numero dei tre tipi di libri si ha

da cui

La soluzione della seconda equazione in interi e'

da cui seguono le possibili quattro composizioni della cassa che soddisfano entrambe le condizioni assegnate in termini di numero complessivo di libri e di peso totale

 
Koper, Capodistria
Slovenia
 
Capodistria, i. r. Ginnasio. 1891 – 1892
Quali numeri hanno la proprieta' di diventare divisibili per 11 se vengono di una unita' aumentati, e per 25 se di una unita' diminuiti?
 
 
Per ipotesi si ha

da cui si ottiene

la soluzione della prima equazione in interi e'

da cui segue

dunque gli interi cercati formano una progressione aritmetica.
 
Maribor
ted. Marburg an der Drau
Slovenia
Marburg: i. r. Ginnasio sup. 1891 – 1892.
Gli angoli (in numeri interi) di un triangolo sono tali che la quinta parte del primo, l'ottava parte del secondo e la tredicesima parte del terzo fanno assieme 21 gradi. Quali sono i lati del triangolo se c > b se l'area del triangolo è S = a unità quadrate?
 
 
Per quanto attiene agli angoli interni del triangolo poniamo

quindi, tenuto conto anche dei vincoli del problema, si deve risolvere in interi il sistema

da cui segue

Risolvendo in interi la seconda equazione ed imponendo agli interi di essere positivi si arriva a

Questo porta a tre terne di angoli possibili quindi a tre possibili triangoli

Per quanto riguarda l'area osserviamo che

quindi

applicando queste relazioni al caso t = 2 si ottiene

a = 1,075     b = 2,045     c = 2,103