Max & min, modelli geometrici
 

Sono dati due cilindri circolari retti di cui sono note le altezze h e H ed aventi rispettivamente raggi di base r e R. Sapendo che la somma delle loro superfici laterali è equivalente a quella di una sfera di raggio a determinare i raggi  r ed R in modo tale che la somma dei volumi dei due cilindri V(r,R) sia minima.
 
Mettiamo in equazione il problema

Si può generalizzare la ricerca di questo minimo condizionato passando al suo modello geometrico

dove a, b, c sono tre numeri reali positivi. La funzione f(x,y) rappresenta la superficie di un paraboloide ellittico mentre il vincolo è un piano. In particolare la superficie del paraboloide é tagliata con un piano parallelo all'asse di simmetria del paraboloide stesso. L'intersezione di queste superfici è una parabola che ammette un minimo nel vertice.
 
 
Ricavando una delle variabili dall'equazione del piano e sostituendo si ottiene

da cui si ricavano le coordinate del minimo

Ritornando al problema geometrico iniziale risulta

 

Con delle modifiche al modello si ottengono diverse varianti di questo problema che conducono sia a dei punti di minimo sia a dei punti di massimo che sono sempre il vertice di una parabola. Il solido in questo caso é un paraboloide iperbolico.
 
 

 Il minimo si ha quando a < b.
 
 

Il massimo si ha quando a > b.
 

Se a = b la parabola generata dall'intersezione delle due superfici degenera in una retta.