Max, modello geometrico 3D

 

 
Francois Napoleon Marie Moigno
(1804-1884)
Riprendiamo un problema di massimo condizionato che si può trovare anche in un testo dell'Ottocento. "Lecons de Calcul Différentiel et intégral, T2, 1844" di Francois Napoleon Marie Moigno più conosciuto all'epoca come Abbé Moigno. Nel testo il problema è presentato come problema di geometria piana che algebricamente corrisponde a quello presentato sotto. Due anni dopo nel 1846 O. Terquem estenderà il risultato del problema nel caso di n variabili.
 
Del problema in due variabili daremo due soluzioni di tipo algebrico e per ultimo il modello geometrico tridimensionale corrispondente al nostro problema iniziale.
 
Dato

allora il massimo di z vale

 
Iniziamo con una soluzione molto rapida che si ottiene utilizzando un po' di trigonometria. Posto

il vincolo risulta automaticamente soddisfatto e si ha

posti

si ottiene

Chiaramente la funzione sinusoidale è sempre minore o uguale a 1 quindi

 
Una soluzione forse meno rapida ma che fornisce una maggior quantità di informazioni si può ottenere facendo ricorso ad una nota identità aritmetica: «il prodotto della somma di due quadrati è somma di due quadrati»

tenuto conto della espressione del vincolo si ha

Il quadrato di z sarà massimo quando lo è z cioè quando

sostituendo nell'espressione del vincolo si ottiene

quindi

 
Nello spazio tridimensionale munito di un sistema di riferimento cartesiano si ha che l'espressione

è un piano che passa per i punti

mentre l'equazione

rappresenta una superficie cilindrica illimitata con asse di simmetria che coincide con l'asse z, l'intersezione di questa superficie il piano z = 0 è una circonferenza con centro nell'origine e raggio unitario.
L'intersezione del piano con la superficie cilindrica, in generale, dà origine a un'ellisse. Il vertice dell'ellisse posto nel semispazio  z > 0 è il massimo cercato.