Ponti

 

 
Due città A e B si trovano separate da un fiume. Determinare la posizione di un ponte, ortogonale rispetto alle sponde del fiume, in modo tale che il tratto di percorso da una città all'altra abbia lunghezza minima.
 
Preso un sistema di riferimento avente una città nell'origine, l'asse delle ascisse parallelo alle sponde del fiume, quello delle ordinate perpendicolare alle stesse e ammettiamo il problema come risolto. Se L è la larghezza del ponte che corrisponde alla larghezza del fiume, P e Q le teste del ponte in oggetto, poniamo

Diamo prima una soluzione puramente geometrica riportando nella direzione ortogonale e verso le sponde del fiume iniziando da ciascuna delle due città un segmento pari alla larghezza del fiume

Si forma in questo modo il parallelogramma ABCD e l'intersezioni dei lati AD e BC con le rive del fiume sono la soluzione del problema; la soluzione è unica.
Infatti iniziando il percorso dalla città A un tratto AC di lunghezza L, pari alla lunghezza del ponte, in direzione ortogonale al fiume andrà comunque percorso, resta un secondo tratto da C alla città B che è minimo se è un segmento di retta. Tracciamo quindi CB ottenendo le teste di ponte Q e P.
Dato che ACQP è un parallelogramma allora CQ = AP quindi il percorso APQB è lungo quanto il percorso minimo ACB quindi è minimo a sua volta. Per determinare la distanza NP utilizziamo la similitudine dei triangoli ANP e AED.
Ricordando che

si ha

Si nota che la posizione del ponte che rende minimo il percorso tra le due città non dipende dalla larghezza del fiume.
Volendo procedere per via analitica è necessario definire una funzione che rappresenti, al variare di NP, la lunghezza del percorso AP + PQ + QB

calcolando e studiando la derivata prima della funzione si arriva a determinarne il minino in

Il grafico a sinistra rappresenta la funzione in questione il cui comportamento può essere stimato osservando il comportamento dei suoi elementi

cosa che faremo meglio nel prossimo problema.
 
 
Due città A e B si trovano separate da un fiume. Determinare la posizione di un ponte, ortogonale rispetto alle sponde del fiume, in modo tale che il tratto di percorso da una città alla testa di ponte più vicina sia la stesso.
 
Utilizziamo tutte le convenzioni e le nomenclature adottate nel problema precedente e ripetiamo la prima parte della costruzione. Riportiamo nella direzione ortogonale e verso le sponde del fiume iniziando da ciascuna delle due città un segmento pari alla larghezza L del fiume

e uniamo C con B. Mandiamo l'asse del segmento CB che passa per il punto medio H di CB  e interseca la sponda del fiume da parte opposta di A nel punto P. Questa è la posizione del ponte cercata. Infatti il triangolo CQB è isoscele sulla base CB quindi CQ = QB ma il quadrilatero ACQP è un parallelogramma quindi CQ = AP e quindi il percorso APQB ha i tratti AP e QB che sono uguali. Se si effettua una costruzione analoga partendo dal segmento AD si ottiene la seconda testa di ponte posta in P che corrisponde ad una traslazione verso il basso delle figura precedente di un segmento pari alla larghezza L del fiume, in sostanza la soluzione è unica. Per determinare la posizione del ponte basta chiedere che sia

Anche in questo caso la posizione del ponte non dipende dalla larghezza del fiume.

La soluzione trovata in precedenza corrisponde all'ascissa del punto in comune alle due curve di equazione rispettivamente

    

e l'unicità della soluzione emerge chiaramente osservando il loro comportamento asintotico:

In sostanza per x tendente a più e meno infinito i rami delle due curve tendono a diventare paralleli quindi non esistono altre intersezioni oltre a quella trovata.