Progressioni
Date una progressione geometrica a termini positivi e una progressione aritmetica; le due progressioni hanno i primi due termini uguali. Dimostrare che ogni termine della progressione geometrica è sempre maggiore o uguale al corrispondente termine della progressione aritmetica.

Jacques (Jakob) Bernoulli (1654-1705)
Consideriamo una progressione aritmetica ed una progressione geometrica aventi entrambe il termine iniziale che vale a

imponiamo che abbiano uguale anche il secondo termine

le due progressioni assumono allora la forma

Consideriamo ora la differenza tra due termini corrispondenti

La differenza tra due termini corrispondenti è sempre maggiore o uguale a zero in quanto: a > 0, e i due ultimi fattori del prodotto sono entrambi positivi se  q > 1, entrambi negativi se  0 < q < 1  e entrambi nulli se q = 1, quindi

In una progressione geometrica finita a termini positivi la media aritmetica tra il primo e l'ultimo termine è maggiore della media aritmetica di tutti i termini.
Dati n + 1 interi in progressione geometrica

si chiede di dimostrare che

Riscriviamo il termine a destra della disuguaglianza

ma

infatti

perché i due fattori del prodotto sono entrambi negativi se  q > 1, entrambi positivi se  0 < q < 1  e entrambi nulli se q = 1.
 
Se a1, a2, a3, a4 sono quattro numeri naturali in progressione aritmetica allora

Scritti i quattro interi in progressione aritmetica

calcolando il prodotto dei quattro interi in un ordine diverso da quello dato

si ottiene

Se la ragione d = 1 si ha che il prodotto di quattro interi consecutivi più uno è sempre un quadrato