Lato del quadrato equivalente

 
  al cerchio di raggio unitario

 
Daremo di seguito due costruzioni geometriche approssimate, e non potrebbe essere diversamente, per determinare il lato del quadrato equivalente ad un cerchio di raggio unitario. Da un punto di vista numerico questo significa, dato un cerchio di raggio unitario, tracciare un segmento la cui lunghezza vale la radice quadrata di Pi greco.
La prima costruzione si deve a Charles Maidinger Willich che la pubblicò su «Philosophical Transaction of the Royal Society of London» nel 1855.
Data una semicirconferenza di raggio OA unitario siano: AB una corda pari al raggio, E il punto medio di questa corda, C il punto medio dell'arco AB. Si riporti per altre due volte il raggio sulla circonferenza fino in D in modo tale che l'angolo DOC sia di 120 gradi e l'angolo DOA di 90 gradi. La retta DE taglia ulteriormente la circonferenza in F. Il segmento DF è quasi uguale al lato del quadrato equivalente al cerchio di raggio unitario.
Il triangolo AOB è equilatero di lato unitario, OE è altezza e bisettrice, dunque si ha

quindi

I triangoli rettangoli DHE e DFG hanno l'angolo FDG in comune quindi sono simili; ne risulta

Da un punto di vista numerico

una simile approssimazione soddisfa le ordinarie esigenze legate al disegno.
 
La seconda costruzione si trova con una certa frequenza anche su manuali italiani di inizi Novencento.
Data una circonferenza di centro O e diametro AB di lunghezza due. Dividiamo il raggio AO in cinque parti uguali e prendiamo DO uguale ai tre quinti di AO. Da parte opposta rispetto al centro O e sullo stesso diametro prendiamo il punto E che dimezza il raggio OB e riportiamo il segmento BF uguale a EB. Tracciamo ora le due semicirconferenze  di diametro rispettivamente DE e AF. Mandata per O la perpendicolare a AF questa interseca la prima semicirconferenza in G e la seconda in H. Il segmento GH è una buona approssimazione del lato del quadrato equivalente al cerchio di raggio unitario.
Applicando il II Teorema di Euclide alla semicirconferenza di diametro DE risulta

La stessa cosa sulla circonferenza di diametro AF

quindi

In conclusione risulta

cioè un'approssimazione migliore della precedente.
 
Charles Maidinger Willich inviò i suoi risultati anche all'Accademia Francese delle Scienze che li pubblicò. Sotto riportiamo una tabella di approssimazioni numeriche dell'Autore che furono presentate da Jacques Babinet (1794-1872).