Rank_arc_round

William John Macquorn Rankine 1820–1872

Negli "Elementi di calcolo grafico", 1874, del prof. Luigi Cremona, a pagina 76, capitolo IX, dove si tratta della rettificazione approssimata di un arco di circonferenza l'autore rinvia alle note originali del prof. Rankine pubblicate sul "Philosophical Magazine" del 1867. Rivisitiamo liberamente queste note dell'illustre scienziato scozzese.

Sia data una circonferenza di raggio unitario e sia AB l'arco di circonferenza da rettificare. Mandiamo la retta tangente in B alla circonferenza e la perpendicolare alla corda AB passante per il centro O che interseca la corda AB nel suo punto medio M. Si prolunghi la corda AB di un segmento BC = AM = MB. Con centro in C si tracci un arco di circonferenza di raggio AC che interseca la tangente alla circonferenza in P. La lunghezza del segmento PB e' una buona approssimazione della lunghezza dell'arco AB.

Posto

Dalla costruzione e tenuto conto del teorema degli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco AB si ha

Applicando al triangolo PBC il teorema di Carnot (o del coseno) con lo scopo di determinare la lunghezza del segmento PB si ottiene

e risolvendo l'equazione di secondo grado si ottiene

Per verificare il risultato tracciamo il grafico delle funzioni

La figura a sinistra non richiede particolari commenti e uno sviluppo in serie chiarisce ulteriormente il risultato.

Prima di passare ad una nuova costruzione che migliora i risultati appena ottenuti restiamo su una proprietà geometrica della costruzione proposta all'inizio. Si tratta di dimostrare che: nel triangolo isoscele ACP la mediana CN taglia sempre la tangente alla circonferenza PB in un punto Q tale che

Dato che la mediana CN del triangolo isoscele ACP e' anche altezza e bisettrice dell'angolo ACP applichiamo al triangolo PBC il teorema della bisettrice, ne risulta

Come nella costruzione precedente sia AB l'arco della circonferenza di raggio unitario da rettificare e mandiamo ancora la retta tangente in B alla circonferenza. Tracciata la retta OM che biseca l'angolo BOA = x e la retta OC che biseca l'angolo MOA, con il punto C che appartiene alla tangente in A alla circonferenza, si ha che la somma delle lunghezze dei segmenti BC e CA, cioe' BC + CA, e' una buona approssimazione della lunghezza dell'arco di circonferenza AB.

Posto

Applichiamo il teorema di Carnot (coseno) al triangolo BAC con lo scopo di determinare la lunghezza di BC.

tenuto conto che

si ha

Tracciamo ora il grafico delle due funzioni

il risultato e' abbastanza chiaro ma si può ulteriormente evidenziare con uno sviluppo in serie