Arturo Reghini (1878-1946)

Arturo Reghini si laureò in matematica all'Università di Pisa e si dedicò all'insegnamento di questa materia in vari istituti superiori in Toscana e a Roma. Nel 1914, dopo essere entrato nel movimento futurista fece parte del comitato direttivo della rivista "Lacerba".

Fu matematico e filosofo pitagorico; oltre al pitagorismo, Reghini fu affiliato anche a vari gruppi dell'esoterismo italiano e nel 1905 fondò a Firenze una loggia dipendente dal Grande Oriente d'Italia.

Tra i suoi scritti: "Per la restituzione della geometria pitagorica", Atanòr, Roma, 1931.

Su invito di un carissimo amico ho letto un libro al quale difficilmente mi sarei accostato. Debbo ringraziare Sergio, la lettura del testo mi ha riportato ad altri testi più antichi che avevo letto, parzialmente, in passato.

Dallo scritto di Reghini prenderemo alcuni problemi di applicazione delle aree che Proclo, commentando Euclide, attribuisce ai più antichi Pitagorici. In breve si tratta di trasformare, a determinate condizioni, un parallelogrammo in un altro equivalente a quello assegnato. Questi problemi sono risolti da Euclide nei Libri I e II e ancora nel Libro VI degli Elementi; nelle soluzioni del Libro VI l’Autore utilizza la teoria delle proporzioni sviluppata nel Libro V. Reghini si attiene alla tradizione euclidea ma in queste sede non è possibile fare altrettanto. Per semplificare la trattazione e renderla facilmente comprensibile utilizzeremo degli esempi contenenti soltanto dei quadrati e dei rettangoli, applicheremo sistematicamente il secondo teorema di Euclide (Elementi, Libro VI, proposizione 13), e adotteremo un linguaggio algebrico.

Applicazione semplice o parabolica (E., I, 44)

Costruire un rettangolo avente un lato di lunghezza a equivalente ad un quadrato di lato b.

Disposti i due segmenti come cateti del triangolo rettangolo ABC mandiamo per A la perpendicolare all’ipotenusa CA che incontra la retta BC in D. Il triangolo rettangolo DAC è inscrivibile in una semicirconferenza di diametro DC quindi (E., VI, 13) la lunghezza del lato incognito DB del rettangolo soddisfa l’equazione

Applicazione per difetto o ellittica (E., II, 5), (E., VI, 28).

Costruire un rettangolo del quale è nota la somma a dei lati e equivalente ad un quadrato di lato b.

Disposti due segmenti AB e AO di lunghezza b e a/2 rispettivamente come cateto e ipotenusa di un triangolo rettangolo, tracciamo la semicirconferenza di centro O e raggio OA che interseca la retta BO in D e in C. Il problema ammette soluzione soltanto se e solo se a/2 > b e (E., VI, 13) la lunghezza del lato incognito DB del rettangolo è radice dell’equazione

Il caso a/2 = b rappresenta il "diorisma" cioè la separazione, il taglio, tra i casi di possibilità o di impossibilità della soluzione.

Applicazione per eccesso o iperbolica (E., II, 6), (E., VI, 29).

Costruire un rettangolo del quale è nota la differenza a dei lati e equivalente ad un quadrato di lato b.

Siano BC e AB due segmenti di lunghezza a e b. Disposti i due segmenti ad angolo retto, per il punto medio O di BC si tracci la semicirconferenza di centro O e raggio OA che interseca la retta BC in D e in E. Il triangolo DAC è rettangolo in A e (E., VI, 13) il lato incognito del rettangolo DB soddisfa l’equazione

Sezione aurea (E., II, 11), (E., VI, 30).

Come caso particolare dell’applicazione iperbolica si può porre a = b come nel caso precedente si ha che la lunghezza x del lato DB soddisfa una equazione di secondo grado dalla quale è possibile dedurre il valore numerico del rapporto aureo

Rosone della Ermita de San Bartolomé (XII Secolo).
Ucero, provincia di Soria, Castilla y León, Spagna.

Il pentalfa, la stella a 5 punte che si ottiene dal pentagono regolare era considerata nell'antichità come simbolo dell'armonia e come tale venne adottata come emblema dal sodalizio Pitagorico.

Richiami a questa figura si possono trovare anche in altri contesti.