Rendimento_Turbina

Tra i miei vecchi appunti manoscritti ho ritrovato questo problema. A distanza di tempo non sono in grado di dire da dove viene però posso dire che lo risolverei in modo un po' diverso dalla soluzione originale. In definitiva il problema corrisponde al moto rettilineo di un corpo di data massa che perde parte della sua velocità in un tratto rettilineo di data lunghezza. Imponendo la conservazione dell'energia e chiedendo che la velocità media nella parte di percorso dove rallenta sia pari alla media aritmetica tra le velocità di ingresso e quella di uscita si arriva rapidamente alla funzione che descrive la potenza ceduta. La condizione sulla velocità media implica che il rallentamento è indotto dalla presenza di una forza costante che agisce nella stessa direzione ma in verso opposto rispetto alla velocità iniziale.

«É data una turbina orizzontale a forma cilindrica di lunghezza S la cui sezione ha area A e in cui una massa m di un fluido incomprimibile di densità D entra nel dispositivo con velocità V1 e ne esce con velocità V2 mantenendo costante la sua temperatura. Poiché V2 < V1 il fluido cede una parte della sua energia al sistema di pale rotanti poste all'interno della macchina. Si chiede di studiare la potenza sulle pale della turbina e il rendimento corrispondente alla massima potenza trasmessa.»

Dalla meccanica e in particolare dal moto di un punto materiale soggetto ad una forza F costante si ha che se L è il lavoro compiuto dalla forza e P la potenza sviluppata allora

Nel nostro caso la massa di fluido m attraversa la turbina di lunghezza S e la velocità media del fluido vale

Se Q è la quantità di moto del fluido per il secondo principio della dinamica la forza è data della variazione della quantità di moto nell’unità di tempo. La variazione della quantità di moto del fluido sarà negativa perché il fluido ne cede parte alle pale della turbina ed è proprio quella ceduta che ci interessa e che consideriamo come positiva quindi

Di conseguenza la potenza trasferita alla turbina vale

Posto

si ottiene

Si tratta di una cubica che per evidenti ragioni fisiche deve essere considerata soltanto nel primo quadrante.

Dallo studio della funzione emerge facilmente che la f ammette un massimo nel primo quadrante

La potenza del fluido all'ingresso della turbina è uguale a quella in uscita dalla stessa quando la velocità del fluido in uscita è pari a quella di ingresso e la potenza ceduta vale zero, quindi la potenza in ingresso è data da

Dunque il rendimento massimo della turbina vale