Rettangoli dimezzati

  
 
Il problema che ci interessa consiste nel determinare un rettangolo che abbia area pari alla metà dell'area di un rettangolo dato. La questione può essere più o meno semplice o interessante in relazione agli ulteriori vincoli ai quali può essere assoggettata la soluzione. Noi prenderemo in considerazione due versioni del quesito: nel primo caso non sarà vincolante la similitudine tra le due figure mentre nel secondo caso la similitudine sarà richiesta.
 
Problema: «Dato un rettangolo determinarne un secondo di area dimezzata mandando due rette parallele a due lati adiacenti ed equidistanti da essi».
 
 
Iniziamo affrontando il problema da un punto di vista puramente algebrico, tradurremo poi la soluzione in una costruzione geometrica equivalente. Dato il rettangolo ABCD poniamo:

esprimendo l'area del rettangolo dimezzato si ha

la soluzione considerata è quella che geometricamente ha senso. La soluzione può essere interpretata come la semidifferenza tra la somma di due lati adiacenti del rettangolo e la diagonale. Quindi prolunghiamo il lato AD e su di esso riportiamo un segmento EA = AB in modo tale che ED = EA + AD, riportiamo anche FD = BD.  Se G è il punto medio del segmento EF = ED - FD allora non resta che riportare nel rettangolo dato il segmento  EG = GF = GH = LA = x.
 
Alla stessa soluzione si può arrivare per via puramente geometrica considerando la circonferenza inscritta nel triangolo rettangolo determinato da due lati e da una diagonale del rettangolo. Il raggio della circonferenza è la soluzione del problema.
Per dimostrare questa affermazione esprimiamo l’area del triangolo rettangolo ABD sia in funzione dei lati AB e AD del rettangolo sia in funzione del raggio della circonferenza inscritta nel triangolo rettangolo ABD. Posto  EF = EG = EH = x si ha

 
Come corollario si ha la soluzione al problema: «Dato un rettangolo determinarne un secondo di area dimezzata ottenuto ritagliando dal primo una cornice parallela ai lati e di ampiezza costante». la larghezza della cornice vale la metà della soluzione del problema precedente. Infatti presa la soluzione precedente, ammesso che il rettangolo iniziale abbia area unitaria, è sufficiente operare dei tagli come quelli segnati in azzurro nella figura che dimezzano le strisce e traslare i pezzi  ottenuti in modo da porre al centro il rettangolo di area 1/2.
 
Passiamo ora al problema: «Dato un rettangolo determinarne un secondo di area dimezzata e simile al rettangolo dato».
Chiamate con x e y  le lunghezze del triangolo dimezzato si ha

Per costruire le soluzioni è sufficiente considerare i lati dei quadrati che hanno come diagonali i lati del rettangolo dato.