SaintCyr

" E' dato un punto P esterno ad una striscia determinata da due rette parallele. Si chiede la posizione che deve prendere la perpendicolare comune per essere vista dal punto P sotto un angolo massimo."

(Saint-Cyr, 1872)

Il testo riportato sopra si riferisce ad un problema assegnato all'esame di concorso per l'ammissione alla: Ecole Spéciale Militaire (ESM) de Saint-Cyr. Questa accademia militare dell'esercito fu fondata il 1 maggio 1802 (11 floreale anno X) da Napoleone Bonaparte poco prima della sua nomina a console a vita il giorno 2 agosto 1802 (14 termidoro anno X).

Il valore dell'angolo massimo indicato si riferisce ad una figura nella quale a = b = 1.

Siano QA ed RB due rette parallele e P un punto esterno alla regione di piano racchiuso tra queste rette. Poniamo PQ = a e sia
AB = QR = b la "perpendicolare comune". Posto RB = QA = x, x maggiore o uguale a zero, si chiede di determinare x modo tale che l'angolo APB sia massimo.

Dato che i triangoli PQA e PRB sono rettangoli e l'angolo APB e' la differenza tra gli angoli APQ e BPR si ha che APB e' acuto, quindi

Per cercare il massimo dell'angolo APB studieremo come varia, al variare di RB = x, la tangente dell'angolo APB in quanto questa funzione trigonometrica, nell'intervallo sopra indicato, è una funzione monotona crescente dell'angolo APB e quindi raggiungerà il massimo insieme all'angolo stesso, cioe' per lo stesso valore di RB.

Studiando la funzione, tenuto conto che

si ricava un massimo per

e l'angolo massimo corrispondente vale

Nel grafico a fianco sono riportate l'andamento sia della tangente dell'angolo APB (in rosso) sia il valore dell'angolo APB (in azzurro), sempre nel caso a = b = 1.