Serie & Somme

  
 
 
Prendiamo in esame una pubblicazione inglese del 1817 formata da quattro volumi contenenti la raccolta dei quesiti matematici comparsi dal 1704 al 1816 sulla rivista «Ladies' Diary». «Ladies' Diary» era un almanacco che conteneva oltre a dati astronomici e date da ricordare anche passatempi, rompicapo, rebus, sciarade e problemi matematici. Ci interessa in particolare il secondo dei quattro volumi della raccolta che copre il periodo dal 1748 al 1775 e i problemi che vertono, pił o meno esplicitamente, sulle somme o sulle serie infinite.
Molti di questi esercizi sembrano derivare dai lavori sulle serie di J. Bernoulli. Al quarto volume della raccolta uscita nel 1817 venne aggiunta una corposa appendice con chiarimenti e informazioni aggiuntive; in quella appendice vennero riportate le dimostrazioni di alcuni risultati significativi conseguiti da Jakob Bernoulli nel suo «Tractatus de seriebus infinitis».
 
Noi procederemo a ritroso partendo dai teoremi del «Tractatus de seriebus infinitis» aggiunti in appendice nel 1817 ed affronteremo per ultimi i problemi proposti su «Ladies' Diary» nel Settecento. Ci interessano, in particolare, le dimostrazioni date da J. Bernoulli delle le seguenti relazioni:

Questi risultati ci garantiranno che le serie che ci interessano sono convergenti.
 
 
Iniziamo da delle serie numeriche.

       

ma

quindi

        

da cui

Allora

e la serie e' convergente.

Problema
Nella serie

 

determinare il rapporto tra la somma dei termini di ordine pari e la somma dei termini di ordine dispari.
 
 
Posto che sia la somma della serie, SP la somma dei termini di ordine pari e SD la somma di
 quelli dispari, da si ha

 
Determinare una forma chiusa che dia le seguenti somme
Iniziamo dalla somma della serie geometrica e moltiplichiamo ambo i membri per x
derivando ambo i membri rispetto alla variabile x si ottiene
Nell'ultima espressione se moltiplichiamo ambo i membri per x e operiamo la sostituzione si ricava