Sfere

  
 
Prenderemo in esame due problemi di geometria solida che riguardano delle sfere intersecate da cilindri o tangenti a dei coni. I quesiti sono ripresi da una raccolta di problemi del 1866 di un docente inglese: James R. Christie (1814-1879) che insegnò matematica nella Royal Military Academy di Woolwich nei pressi di Londra.
 
 
A Londra presso l' Accademia Militare di Woolwich dal 1806 al 1939 si formarono gli ufficiali di artiglieria, del genio e dei corpi tecnici  dell'Esercito Inglese. Tra i docenti dell'accademia ci furono anche Michael Faraday e Joseph Sylvester. L'istituto aveva sede nella zona sud-est della Greater London (Greenwich), l'area e gli edifici della Accademia sono ora parte di un quartiere residenziale di lusso.
 
 
Per quanto riguarda il primo problema a nostro parere si tratta un classico. Martin Gardner riporta il quesito in una raccolta di giochi e problemi pubblicata negli USA nel 1959 e in quella sede segnala la presenza del problema in un libro di curiosita' matematiche di Samuel I. Jones del 1932. Noi pensiamo che il problema 910 del testo di James R. Christie del 1866 si discosti da quelli citati in precedenza soltanto nella formulazione della richiesta; la figura e' esattamente la stessa e le proprieta' sottolineate da Gardner le otterremo generalizzando la risposta alla richiesta di Christie.
  • Martin Gardner, Enigmi e giochi matematici, Vol.1°, Sansoni Editore, Firenze,1979, pag. 95, 104, 105.
  • Samuel I. Jones, Mathematical Nuts for lovers of mathematics, Nashville, 1932.
  • James R. Christie, A collection of elementary test questions, Macmillan and Co., London,1866, pag. 97, P. 910.
 

 
Problema 910
Determinare il volume residuo di una sfera di raggio R = 16 pollici nella quale è stato praticato un foro di raggio r = 8 pollici passante per il suo centro.
 
 
Poniamo la sfera con il centro nell'origine di un sistema di riferimento cartesiano, sezioniamo il solido come si vede in figura e chiamiamo con 2L la lunghezza del foro. Se si determina il volume residuo mediante la formula integrale per il calcolo del volume di un solido di rotazione si ha

La prima osservazione e' che il volume residuo puo' essere espresso unicamente in funzione della lunghezza del foro ed e' equivalente al volume di una sfera di raggio L.
Rispondendo al quesito in termini numerici, in pollici, si ha

 
Se si preferisce una dimostrazione diversa e' possibile dimostrare che due sezioni corrispondenti di una sfera di raggio L e della sfera di raggio R nella quale e' stato praticato un foro di lunghezza 2L hanno la stessa area. Da sinistra a destra si ha
Problema 908
Dimostrare che nella canna di un mortaio che ha una camera di scoppio conica il cui lato forma con l'asse della canna un angolo di 30 gradi, lo spazio disponibile per la polvere da sparo, quando il proiettile sferico e' a contatto con i lati della camera, e' un ottavo del volume della sfera.
 
Disegniamo la sezione del solido formato dal cono e dalla sfera tangente internamente al cono dato. L'angolo BAC = 60 gradi quindi

Ricordando che il volume che si ottiene da una rotazione del segmento di cerchio che insiste sulla corda BC , dalla parte del vertice A, vale

Il volume VS  cercato e' dato dalla differenza tra il volume VC del cono di altezza AH e il volume segmento sferico indicato sopra, quindi