Tra sfere e coni
Da una raccolta di teoremi e problemi di geometria del 1844 di Henri Charet de Lafrémoire (x 1835) riprendiamo due problemi solidi di minimo abbastanza comuni anche oggi e che si prestano ad una soluzione elementare.
 
  • Circoscrivere ad una sfera data un cono di volume minimo.
Circoscriviamo ad una data sfera un cono circolare retto e con un piano passante per l'altezza del cono tagliamo entrambi i solidi ricavando la sezione di figura.

Detto r il raggio della sfera di centro O si ha OH = OK = OJ = r , poniamo come incognita AH = x > 2r l'altezza del triangolo isoscele ABC. Esprimiamo l'area del triangolo ABC con lo scopo di determinare la lunghezza del raggio di base HC del cono e successivamente il volume del cono stesso.
Dunque

e il volume del cono risulta essere

Per determinare il volume minimo limitiamoci a studiare il fattore di destra utilizzando una disuguaglianza elementare

Quindi il volume minimo del cono si ha quando AH = x = 4r cioč quando il cono ha l'altezza doppia del diametro della sfera, in questo caso il volume del cono e' il doppio del volume della sfera

 
  • Circoscrivere ad una sfera data un cono di superficie totale minima.
Con le stesse notazioni e utilizzando i calcoli effettuati nel problema precedente si ha

La superficie totale del cono risulta

Anche in questo caso, per la disuguaglianza utilizzata in precedenza, si ha che la superficie č minima quando AH = x = 4r e la superficie totale del cono č doppia della superficie della sfera

Quando il cono ha superficie totale minima calcoliamo l'angolo del settore circolare costituisce la sua superficie laterale

 
In breve, il cono circoscritto ad una data sfera di raggio r ha volume e superficie totale minimi quando:
-  l'altezza del cono č quadrupla del raggio della sfera AH = 4r
-  l'apotema del cono č il triplo del raggio di base AC = 3HC
-  il volume del cono č doppio del volume della sfera Vc = 2Vs
-  la superficie del cono č doppia della superficie della sfera Sc = 2Ss
-  lo sviluppo della superficie laterale del cono ha un angolo di apertura  C'AC = 120 gradi