Sistemi articolati

  
 
Da un testo di esercizi dell'Ottocento riprendiamo questo problema: «dati due punti A e B esternamente alla retta AB determinare due punti C e D tali che BC = CD = DA.» Nel testo si propongono due soluzioni che riportiamo sotto ma non si fa cenno ad altre.
 
 
La prima soluzione proposta e' abbastanza ovvia e consiste nella costruzione del quadrato ABCD.
La seconda soluzione utilizza il quadrato ABCD ottenuto in precedenza. Sia M il punto medio del lato AB , tracciamo la retta CM e mandiamo dai punti  A e B le perpendicolari che la intersecheranno rispettivamente in  H e K. Osserviamo che il triangolo rettangolo MBC ha un cateto che é la metà dell'altro: BC = MB/2. I triangoli rettangoli  MBC e MBK sono simili dunque MK = BK/2 ; la stessa procedura si puo' ripetere perche' anche i triangoli  MBC e MAK  e ne segue che
 MH = AH/2 = BK/2 = MK , quindi  AH = AK = KB. Si vede immediatamente che queste non sono le uniche soluzioni possibili perché ne esiste almeno una terza che si ottiene per simmetria dalla seconda, ma ne esistono altre ancora.
 
 
Se pensiamo alla nostra costruzione geometrica come ad un sistema articolato dove nei punti  A, B, C e D  sono poste delle cerniere che fanno da snodi a delle aste rigide allora si hanno infinite altre soluzioni che si ottengono intersecando tre circonferenze aventi lo stesso raggio e centri rispettivamente nei punti A, B e C . Si ottengono in questo modo le quattro soluzioni che proponiamo e si può notare che spesso con  una terna di circonferenze si ottengono coppie di soluzioni:
 BC = CD = DA e  BC = CD' = D'A.