Sofismi geometrici I
Walter William Rouse Ball
(1850–1925)
 

Dal secondo volume della traduzione francese di un celeberrimo testo inglese di giochi e problemi matematici prendiamo due sofismi di tipo geometrico. Il testo in questione è

"Récréations Mathématiques et problèmes des temps anciens et modernes"
par W. Rouse Ball fellow and tutor of Trinity College, Cambridge.

Deuxiéme édition francaise, traduite d'après la Quatriéme édition anglaise et enrichie de nombreuses additions par J. Fitz-Patrick.

Paris, librairie scientifique A. Hermann, 1908.

 
 
Secondo quanto riportato nel testo sembra che questa “dimostrazione” sia stata presa da un trattato di elettricità del 1889 dove era stata presentata come "rigorosa".

Un vettore può essere scomposto in infiniti modi come somma di due vettori

Fissato un sistema di assi cartesiani nel quale

si ha

da cui

Considerato il rapporto
         
e osservato che la tangente dell'angolo alfa risulta definita per ogni valore del rapporto k compreso tra zero e più infinito se ne conclude che

E questo accade se si chiede a k di tendere contemporaneamente zero e a più infinito.
 

"Tutti i triangoli sono isosceli"
E' dato il triangolo ABC.
  • Se la bisettrice dell'angolo ACB e l'asse del lato AB coincidono allora il triangolo è isoscele.

Supponiamo che il triangolo non sia isoscele.

  • Sia P il punto in cui la bisettrice dell'angolo ACB incontra l'asse del lato AB. Da P mandiamo le perpendicolari PL e PN ai lati CA e BC. I triangoli rettangoli CLP e CNP sono uguali in quanto sono simili ed hanno l'ipotenusa in comune, quindi PL = PN e CL = CN.
    Poiché     PM appartiene all'asse del lato AB si ha AP = PB e i due triangoli rettangoli PLA e PNB sono uguali in quanto hanno uguali le ipotenuse AP e PB e i cateti PL e PN (T. pitagora) . Ne segue che LA = NB.
    Sommando termine a termine le due uguaglianze ottenute risulta che il triangolo     ABC è isoscele in quanto CA = CL + LA = CN + NB = CB. Quindi

    "Tutti i triangoli sono isosceli"
 
Spendiamo soltanto alcune parole sul problema precedente. In primo luogo è chiaro che il risultato nega l'ipotesi ma la presenza di una contraddizione non autorizza, ovviamente, la generalizzazione: "tutti i triangoli sono isosceli". La presenza di una contraddizione segnala un errore che, non essendo nella dimostrazione, deve essere nella figura (questo accade in molti sofismi geometrici). Nella figura a fianco si vede il triangolo ABC , in rosso la bisettrice dell'angolo ACB e in azzurro l'asse del lato AB , ogni altro commento è superfluo.