Interi rappresentabili come somme di due quadrati

 
   
 

“The Educational Times” (1847-1923) iniziò le pubblicazioni nel 1847 e nel 1861 divenne l’organo ufficiale del “College of Preceptors”, (42, Queen Square, Bloomsbury) questa organizzazione aveva come scopo quello di far progredire l'interesse per l’istruzione, soprattutto tra la classe media, offrire servizi e conoscenze professionali agli insegnanti, fornire commissioni esaminatrici competenti in grado di accertare e rilasciare attestati di idoneità a coloro che lavoravano o che desideravano essere coinvolti nell'educazione dei giovani, uniformare la preparazione dei docenti.
“The Educational Times” conteneva notizie sulle borse di studio, avvisi di posti vacanti, recensioni di libri e pubblicità dei libri di testo. Una caratteristica importante della rivista (mensile) era una sezione dedicata ai problemi matematici. Inizialmente i manuali di matematica, di norma, non contenevano pagine di esercizi ed era consuetudine per insegnanti e studenti ricercare applicazioni di quanto trattato durante le lezioni. “The Educational Times” fu  una preziosa fonte di problemi pratici per chiunque fosse interessato alla matematica. Tra i collaboratori britannici ci furono: Arthur Cayley, G.H. Hardy, W.W. Rouse Ball, J.J. Silvester, Peter Tait, William Thompson (Lord Kelvin). Tra gli abbonati: Emile Borel, Ernesto Cesàro, Charles Hermite, Felix Klein, Augustus De Morgan, Joseph Larmor, James Clerk Maxwell.
 
Da “Educational Times” del 1879 riprendiamo un problema proposto da William Allen Whitworth (1840-1905) che fu "fellow" al St John's College di Cambridge.
  "Costruire 40 diversi triangoli rettangoli aventi ipotenusa
 comune che vale 32045, e tutti gli altri lati interi."		  
Nella sua soluzione William Allen Whitworth e' abbastanza ermetico, cita Euclide, elenca le 40 soluzioni e sostiene, a ragione, che soddisfano tutte alle condizioni poste da (Euclide, I, 48). Ricordiamo che negli Elementi la proposizione 47 e' il teorema di Pitagora e la proposizione  48 e' l'inverso dello stesso teorema che Whitworth usa letteralmente come test nel senso che presi tre interi se si ha

allora questi sono rispettivamente cateti e ipotenusa di un triangolo rettangolo. Noi cercheremo di fornire alcuni chiarimenti su come si ottengano e perché siano 40 le coppie di interi che soddisfano il problema.
 
Il numero di rappresentazioni di 32045 come ipotenusa di un quadrato e' strettamente connesso con le possibilità di rappresentare 320452 come somma di due quadrati. Da questo punto di vista bisogna tener presente che ogni primo p della forma p = 4k+1 e' sempre rappresentabile come somma di due quadrati e in un modo soltanto (Fermat). Per quanto riguarda invece i numeri composti e' necessario ricordare che il prodotto della somma di due quadrati e' ancora la somma di due quadrati e in due modi distinti

A questo punto scomponiamo in fattori primi 320452 :

e osserviamo come tutti i fattori primi della scomposizione siano del tipo p = 4k+1 quindi tutti questi primi si possono scrivere come somme di due quadrati in un modo soltanto, inoltre tutti questi primi hanno esponente pari. Vediamo ora di determinare in quanti modi questo numero si possa ottenere come somma di due quadrati. Gauss e Legendre hanno affrontato il problema ricavando delle formule che permettono di effettuare questo calcolo nota la scomposizione in fattori primi dell' intero n assegnato. Se

chiamiamo con  r2(n) il numero delle rappresentazioni di un intero n come somma di 2 quadrati, contando come una sola rappresentazione quelle che differiscono una dall'altra per una permutazione degli elementi, allora
i)   se almeno uno degli esponenti

è dispari, allora
ii)  altrimenti    
Il caso che ci interessa è il secondo perché tutti i primi, che sono del tipo p = 4k+1, hanno esponente 2 quindi si ha

Se da queste 41 rappresentazioni eliminiamo la rappresentazione banale, nella quale uno dei due quadrati è nullo, otteniamo le 40 riportate sotto.
 
 
  716 32037
1363 32016
2277 31964
2400 31955
3045 31900
3757 31824
3955 31800
4901 31668
5304 31603
6764 31323
 
 7259 31212
 7656 31117
 7888 31059
 8283 30956
 8580 30875
 8772 30821
10075 30420
10192 30381
11475 29920
11661 29848
 
12325 29580
12920 29325
13572 29029
15080 28275
15708 27931
15916 27813
16269 27608
16704 27347
17051 27132
17253 27004
 
18291 26312
19227 25636
19552 25389
19795 25200
20300 24795
21000 24205
21093 24124
21576 23693
22100 23205
22244 23067