Successioni & partizioni
 

 
In questa pagina ci occuperemo di alcuni problemi di aritmetica che compaiono spesso nelle raccolte di problemi "divertenti e istruttivi". Sono quesiti che vengono dalla tradizione, talvolta hanno un vago sapore pedagogico e venivano proposti anche per contribuire a "formare il giudizio nei giovani". Nello specifico si tratta del volume «Recueil de problemès amusans et instructifs», terza edizione, di Jean-Joseph Grémillet (1777-1862) pubblicato a Parigi nel 1826.

 
L' ex-libris contenuto nella volume in esame ci dice che quella copia appartenne all'avvocato belga Paul Voituron (1824-1891) che visse ed esercito' a Gand, nelle Fiandre. Nella sua città natale Voituron partecipo' attivamente alla vita politica nelle file del partito liberal-progressista e la sua azione fu influenzata dalla partecipazione alle animate discussioni sulle utopie socialiste di Charles Fourier (1772-1837) che ebbero luogo in seno a «La Société Huet», presso l'Universita' di Gand, e nella loggia massonica progressista «La Liberté» della stessa citta' fiamminga. Cose d'altri tempi che ci piace ricordare.
   
I problemi che seguono riguardano tutti delle partizioni e possono essere risolti facilmente seguendo passo passo le indicazioni del testo sia utilizzando un approccio diretto sia con un procedimento a ritroso partendo dall'ultima condizione fissata dal problema. Entrambe le procedure non ci interessano. Vogliamo generalizzare perche' riteniamo più interessante cercare il modello che regge il problema e che di norma e' rappresentato da una successione di interi. L'obiettivo sara' quello di ottenere queste successioni espresse sia in forma ricorsiva che attraverso il termine generale.
 
Un commerciante ha acquistato un paniere di pere che rivende a tre persone diverse. La prima compra la meta' delle pere e ne riceve una in omaggio. La seconda compra la meta' delle restanti, e ne riceve una in omaggio. La terza persona ne compra meta' delle restanti e ne riceve una in omaggio. Dopo queste tre operazioni nel paniere restano quattro pere. Quante erano le pere contenute inizialmente nel paniere?

 
Sia a0 il numero iniziale delle pere contenute nel paniere, dato che ad ogni acquirente viene venduta la meta' di quelle contenute nel paniere in quel momento poniamo q = 1/2 e sia k = 1 la quantita' di pere date in omaggio ad ogni compratore. A questo punto è facile scrivere la versione ricorsiva della successione che descrive il numero di pere an contenute nel paniere dopo che l' n-esimo compratore ha completato il suo acquisto. Da questa e' possibile risalire al termine generale della successione.

Imponendo che dopo tre transazioni siano rimaste 4 pere nel paniere cioe'  a3 = 4 si ottiene  a0 = 46  che è il risultato cercato. Nel diagramma a destra si vedono in riquadro azzurro il numero delle pere nel paniere ad ogni passaggio e sulla sinistra il numero delle pere consegnate ad ogni acquirente. In particolare la successione bn del numero di frutti consegnati si ottiene facilmente osservando che

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Un mercante ritira tutti gli anni dai fondi della sua attivita' commerciale una somma fissa di mille Franchi per le spese della sua azienda. Ogni anno i suoi fondi aumentano di un terzo di cio' che resta e dopo tre anni l'ammontare dei fondi disponibili e' il doppio di quello iniziale.
Si chiede il valore del capitale iniziale del commerciante.
 
Sia a0 il valore del capitale iniziale. Dato che ogni anno, dopo aver detratto i 1000 Franchi, i fondi aumentano di un terzo di ciò che resta il valore complessivo a fine anno sara' i 4/3 di quello iniziale quindi posto q = 4/3 e k = 1000 F,  se an e' il capitale al termine di ogni anno si ha

Imponendo che sia a3 = 2a0  si ottiene  a0 = 14800 Franchi.
Se portiamo l'attenzioni sui ricavi annuali rn si ottiene

da cui: r1 = 4600 F, r2 = 5800 F, r3 = 7400 F per un totale di 17800 F da cui detratti i 3000 Franchi di spese si arriva a un totale di 14800 F che sono pari al capitale iniziale.
 
Nel testamento un padre di quattro figli determina di distribuire i propri beni nel seguente modo:
• al primo figlio la somma di 1000 Franchi piu' 1/10 della somma restante;
• al secondo figlio la somma di 2000 Franchi piu' 1/10 della somma restante;
• al terzo figlio la somma di 3000 Franchi piu' 1/10 della somma restante;
• al quarto figlio la somma di 54000 Franchi che e' esattamente quanto resta della successione.
Si chiede l'ammontare dei beni del padre e le quote di successione spettanti ai primi tre figli.
 
Sia a0 l'ammontare iniziale dei beni in successione e an il valore del patrimonio dopo aver detratto la quota spettante al figlio n-esimo. Posto k = 1000 Franchi e p = 1/10 si ha

Poniamo ora  q = 1 - p = 9/10 da cui

e se vogliamo che sia a3 = 5400 F otteniamo a0 = 81000 F.
La successione ottenuta e' quella dal patrimonio disponibile dopo  l'assegnazione delle singole quote bn per determinare le quali possiamo ricorrere all'espressione

Come si puo' osservare le quote, eccetto l'ultima, sono tutte uguali a 9000 F e si potrebbe continuare con la stessa ripartizione con delle quote uguali di 9000 F fino ad un massimo di 9 eredi; questo prevedeva la versione originale del problema.