Tangenti_alle

Da un manuale italiano di geometria del 1877 di Giovanni Luvini prendiamo in esame lo studio geometrico delle coniche e in particolare delle tangenti a queste curve. La parte più discutibile è la definizione di tangente utilizzata dal Luvini che non può certamente essere estesa a curve di grado superiore al secondo, però sulle coniche funziona e consente una trattazione completa fatta "con riga e compasso". Il percorso logico è quello proposto dal testo ma le dimostrazioni sono state in parte modificate per renderle più snelle e ne è stato completato il quadro in modo da avere esattamente quattro teoremi per ogni conica seguendo uno schema che si ripete con costruzioni simili per ciascuna curva.

Iniziamo dalla parabola (fig.1). Dati una retta, detta direttrice, ed un punto F fuori di essa, detta fuoco, la perpendicolare per F alla direttrice la incontra in A e la retta AF è l'asse della parabola. Il luogo dei punti P equidistanti dal fuoco e dalla direttrice è una parabola.

Sia B un punto qualsiasi della direttrice (fig.1). L'asse del segmento FB taglia in P la perpendicolare in B alla direttrice. Il luogo dei punti P che si ottengono al variare di B sulla direttrice è una parabola. Dato che i punti appartenenti all'asse di un segmento sono equidistanti dagli estremi si ha che il triangolo FPB è isoscele sulla base FB e quindi FP = PB.

P1.1 I punti del piano esterni alla parabola sono più vicini alla direttrice che al fuoco.

Sia Q un punto esterno alla parabola. Mandiamo la retta QF che taglia la parabola in P (fig.2). Per i punti Q e P mandiamo le perpendicolari in C e B alla direttrice.

Dalla definizione della parabola come luogo di punti si ha che FP = PB. Il segmento QB è ipotenusa del triangolo rettangolo QBC e quindi QC < QB.
Dalla disuguaglianza triangolare nel triangolo BPQ si ha QC < QB < BP + PQ = FP + PQ = FQ.

P1.2 I punti del piano interni alla parabola sono più vicini al fuoco che alla direttrice.

Sia R un punto interno alla parabola (fig.2). Tracciamo la retta FR e per R mandiamo la perpendicolare in D alla direttrice.

Dalla definizione della parabola come luogo di punti si ha che FE = ED e quindi RD = RE + ED = RE + FE. Dalla disuguaglianza triangolare nel triangolo FRE si ha FR < FE + RE e quindi FR < RD.

P1.3 Se P è un punto della parabola la bisettrice dell'angolo FPB è la tangente in P alla parabola.

Dimostriamo che tutti i punti della bisettrice sono esterni alla parabola tranne il punto P che appartiene alla conica; questo prova che la bisettrice dell'angolo FPB è tangente alla curva.

Dalla definizione di parabola FP = PB (fig.3) quindi il triangolo FPB è isoscele sulla base FB e la bisettrice dell'angolo FPB è asse del segmento FB e lo taglia in H. Ogni punto dell'asse è equidistante dagli estremi del segmento dunque per ogni punto R della retta HP si ha FR = RB. La perpendicolare per R alla direttrice interseca quest'ultima in C. Il triangolo rettangolo BRC ha BR come ipotenusa quindi FR = BR > RC, si ha l'uguaglianza FR = BR = RC solo quando R coincide con P. Dunque per P1.1 il generico punto R è esterno alla parabola, ne risulta che la bisettrice dell'angolo FPB è la tangente in P alla conica.

P1.4 Se L è un punto esterno alla parabola mandare da L le tangenti alla curva.

Con centro in L tracciamo una circonferenza di raggio LF (fig.4) che interseca la direttrice in M ed N. Per quanto dimostrato sopra le bisettrici degli angoli MLF e NLF sono tangenti alla parabola. Si dimostra facilmente che se L appartiene alla direttrice le tangenti alla curva sono tra loro ortogonali.

Dato nel piano un sistema di assi ortogonali che si intersecano nell'origine O (fig.5). Su uno degli assi prendiamo due punti F e G equidistanti da O detti fuochi. Sull'asse ortogonale prendiamo un punto A tale che FA = a e sulla retta FA sia B un punto tale che FB = 2FA. Con centro in F e raggio FB tracciamo una circonferenza. Preso un punto Q a piacere sulla circonferenza si ha sempre FQ = 2a > FG perché FA è ipotenusa del triangolo rettangolo FOA. Tracciamo il segmento GQ, l'asse di GQ taglia FQ in P. Al variare di Q sulla circonferenza P descrive un luogo di punti tali che
FP + PG = FP + PQ = 2a (costante) quindi il luogo è un'ellisse.

P2.1 I punti del piano esterni all'ellisse hanno la somma dei raggi vettori che è maggiore della costante 2a.

Sia Q un punto esterno all'ellisse (fig.6). Tracciamo i raggi vettori FQ e GQ, con FQ che taglia curva in P. Per definizione di ellisse FP + PG = 2a; applicando la disuguaglianza triangolare al triangolo PGQ risulta PG < PQ + GQ.
Dunque 2a - FP < PQ + GQ da cui 2a < FP + PQ + GQ e quindi 2a < FP + PQ + GQ = FQ + GQ.

P2.2 I punti del piano interni all'ellisse hanno la somma dei raggi vettori che è minore della costante 2a.

Sia R un punto interno all'ellisse (fig.6). Tracciamo i raggi vettori FR e GR. La retta FR taglia curva in P. Per definizione di ellisse FP + PG = 2a; applicando la disuguaglianza triangolare al triangolo RPG risulta RG < PR + GP.

Dunque FR + RG < FR + PR + GP e quindi FR + RG < FP + GP = 2a.

P2.3 Se P è un punto dell'ellisse, prolungato FP con PQ = PG la bisettrice dell'angolo GPQ è la tangente in P all'ellisse.

Come si è visto il triangolo GPQ è isoscele sulla base GQ quindi la bisettrice dell'angolo GPQ è anche altezza quindi ortogonale in H a GQ ed essendo anche mediana Q risulta essere il simmetrico di G rispetto alla bisettrice. Da F mandiamo alla bisettrice una perpendicolare che la interseca in K. Comunque si prenda un punto M sulla bisettrice si ha sempre che FM + MG > FP + PG e l'uguaglianza si ha soltanto quando M coincide con P. Ne segue che la bisettrice è sempre esterna alla curva quindi questa retta è anche la tangente in P alla conica. La dimostrazione discende direttamente da un problema di minimo geometrico che si deve a Erone: «Determinare su una retta un punto tale che sia minima la somma delle distanze da due punti posti dalla stessa parte della retta data». Questo teorema è stato esaminato in questo sito nella pagina dedicata a Eugène Catalan, T.2a.

P2.4 Se L è un punto esterno all'ellisse mandare da L le tangenti alla curva.

Sia L un punto esterno alla curva (fig.8). Con centro in L tracciano la circonferenza di raggio LG. Questa circonferenza interseca quella di centro F e raggio FB = 2a nei punti I e J. le rette passanti per L e ortogonali ai segmenti JG e IG sono tangenti all'ellisse rispettivamente nei punti T ed S.

Il segmento JG è corda della circonferenza di centro L e raggio LG quindi la retta passante per L e ortogonale a JG è anche asse dello stesso segmento e J è necessariamente esterno alla curva quindi, sulla base della proposizione P2.3, questa retta è tangente alla conica in T. Analogamente si procede per la corda GI e si arriva alla tangente in S all'ellisse.

É dato nel piano un sistema di assi ortogonali di origine O (fig.9). Su uno degli assi prendiamo due punti F e G equidistanti da O detti fuochi. Internamente al segmento FG prendiamo altri due punti A e B simmetrici rispetto ad O e poniamo
AB = 2a. Tracciamo una circonferenza con centro in F e raggio FK = 2a. Sia Q un punto di questa circonferenza, l'asse del segmento QG taglia la retta FQ in P. Al variare di Q sulla circonferenza il punto P descrive un luogo geometrico tale che
FP - PG = FP - PQ = AB = 2a, cioè la differenza delle distanze di P dai fuochi è costante; il luogo è un'iperbole che ha come vertici i punti A e B.

P3.1 I punti del piano esterni all'iperbole hanno la differenza dei raggi vettori minore della costante 2a.

Sia Q un punto del piano esterno all'iperbole (fig.10). La retta FQ taglia la parabola in P dunque FP - PG = 2a.
Tenuto conto che per la disuguaglianza triangolare sul triangolo QPG risulta QP + QG > PG da cui segue
FQ - QG = FP - QP - QG = FP - (QP + QG) < FP - PG = 2a.

P3.2 I punti del piano interni all'iperbole hanno la differenza dei raggi vettori maggiore della costante 2a.

Sia R un punto del piano esterno all'iperbole (fig.10). La retta FR taglia l'iperbole in P dunque FR - PG = 2a.
Tenuto conto che per la disuguaglianza triangolare nel triangolo RPG si ha RG - PR < PG risulta
FR - RG = FP + PR - RG = FP - (RG - PR) > FP - PG = 2a.

P3.3 Se P è un punto dell'iperbole la bisettrice dell'angolo GPQ è la tangente in P all'iperbole (fig.11).

Come si è visto il triangolo GPQ è isoscele sulla base GQ quindi la bisettrice dell'angolo GPQ è anche altezza, dunque ortogonale in H a GQ, ed essendo anche mediana il punto Q risulta essere il simmetrico di G rispetto alla bisettrice. Da F mandiamo alla bisettrice una perpendicolare che la interseca in K. Comunque si prenda un punto M sulla bisettrice si ha sempre che FM - MG < FP - PG = 2a e l'uguaglianza si ha soltanto quando M coincide con P. Ne segue per P3.1 che la bisettrice è sempre esterna alla curva quindi questa retta è anche la tangente in P alla conica. La dimostrazione discende direttamente da un problema di massimo geometrico: «Determinare su una retta un punto tale che sia massima la differenza delle distanze da due punti posti uno da una parte e uno da parte opposta della retta data». Questo teorema è stato esaminato in questo sito nella pagina dedicata a Eugène Catalan, T.2b.

P3.4 Se L è un punto esterno all'iperbole mandare da L le tangenti alla curva.

Sia L un punto esterno alla curva (fig.12). Con centro in L tracciano la circonferenza di raggio LG. Questa circonferenza interseca quella di centro F e raggio 2a nei punti I e J. le rette passanti per L e ortogonali ai segmenti GJ e GI sono le tangenti all'iperbole.

l segmento JG è corda della circonferenza di centro L e raggio LG quindi la retta passante per L e ortogonale a GJ è anche asse dello stesso segmento e J è necessariamente esterno alla curva quindi, sulla base della proposizione P3.3, questa retta è tangente alla conica. Analogamente si procede per la corda GI e si arriva alla seconda tangente alla curva.