Volume di un tetraedro

particolare

1859 - 1941
Il filosofo Henri Bergson (Nobel per la letteratura nel 1927) si segnalò come eccellente studente liceale di matematica vincendo il primo premio del «Concours général» del 1877 risolvendo un complesso problema di geometria solida; la soluzione del problema comparve l'anno successivo sugli «Annales de Mathématiques» e fu la sua prima pubblicazione. Noi riproponiamo un problema di geometria solida piu' semplice, risolto da Bergson nello stesso periodo, che comparve come «Question de géométrie» a pagina 300 del «Journal des mathématiques élémentaires» del 1877 diretto da J. Bourget. Si tratta dell'esercizio 124 proposto da A. Desboves cioè dal professore di matematica del giovane Bergson a Parigi presso l'allora «Lycée Fontane» (oggi Lycée Condorcet).
 
«Dato un tetraedro avente gli spigoli opposti uguali due a due esprimere il suo volume in funzione dei tre spigoli distinti.»
 
 
Sia OBCD il tetraedro assegnato che, per ipotesi, ha:

Sul piano della faccia BCD costruiamo il triangolo EFG mandando tre rette passanti per i vertici del triangolo BCD e parallele ai lati opposti. Il triangolo EFG che si ottiene in questo modo è formato da quattro triangoli uguali tra loro e uguali al triangolo BCD. E' facile verificare che nel triangolo EFG risulta:

Uniamo ora i vertici del triangolo EFG con il vertice O del tetraedro OBCD dato ottenendo un nuovo tetraedro OEFG avente l'altezza in comune con il tetraedro assegnato OBCD. Per quanto ottenuto sopra si ha che il triangolo FOG e' inscritto in una semicirconferenza di centro C e diametro FG, quindi l'angolo FOG e' retto in O. Poiché la stessa cosa accade per i triangoli EOF e GOE si ha che il tetraedro OEFG ha tre spigoli tra loro ortogonali le cui lunghezze si possono ottenere applicando tre volte il teorema di Pitagora
  da cui si ottiene il sistema  
che ha come soluzione

Adesso è semplice determinare il volume V ' del tetraedro OEFG  come volume di una piramide avente come base uno dei tre triangoli rettangoli: FOG,  EOF, GOE  ed avente come altezza rispettivamente uno dei tre spigoli ortogonali OE, OG, OF

Ma il tetraedro OEFG ha un volume quadruplo del volume del tetraedro OBCD quindi il suo volume vale