Triangolo di perimetro minimo

Dato un angolo ed un punto P interno ad esso mandare per P una retta che formi con i lati dell'angolo un triangolo COD di perimetro minimo.

Dimostreremo che la circonferenza passante per  P , tangente ai lati dell'angolo che risulta exinscritta al triangolo COD determina il triangolo COD di perimetro minimo cercato.

Mandiamo per P la circonferenza tangente ai lati dell'angolo in A e B e una retta FE qualsiasi (diversa dalla CD). Tracciata la retta MN parallela alla FE e tangente alla circonferenza si ha che il perimetro del triangolo MON e' minore del perimetro del triangolo EOF ma i triangoli MON e COD hanno lo stesso perimetro che vale 2AO = 2OB, quindi il triangolo COD e' quello di perimetro minimo cercato.

Per concludere non resta che dare la costruzione geometrica della circonferenza utilizzata nella soluzione.

La circonferenza passante per P e tangente ai lati dell'angolo passa anche per il punto Q simmetrico di P rispetto alla bisettrice dell'angolo dato. Tracciamo la retta PQ che taglia un lato dell'angolo in K  il problema è quello di trovare un punto B appartenete alla retta OK tale che

Allora sia R il punto simmetrico di Q rispetto a K e J il punto medio di PR. Tracciamo la circonferenza di centro J e raggio JP e la perpendicolare al diametro PR passante per K che taglia questa circonferenza in L. Per il secondo Teorema di Euclide si ha

Se riportiamo KL sulla retta OK otteniamo i punti di contatto di due circonferenze entrambe passanti per P e tangenti ai lati dell'angolo, quella che ci interessa é quella di raggio maggiore che tocca un lato dell'angolo in B.