Triangoli rettangoli
  • Un triangolo rettangolo ABC e' equivalente ad un rettangolo i cui lati sono i due segmenti AT e TB  in cui resta divisa l’ipotenusa AB dal punto di contatto T con la circonferenza inscritta.
 
Il triangolo rettangolo ABC si può scomporre in modo tale che la sua area sia la somma delle aree di un quadrato OSCR e di 4 triangoli rettangoli: AOS = AOT e BOR = BOT. Passando alle aree di queste figure, posto AS = AT = a e BR = BT = b, si ha
 

D'altra parte

  • Tra tutti i triangoli rettangoli la cui somma dei cateti vale 1 determinare quello avente l’altezza rispetto all’ipotenusa di lunghezza massima.
Il triangolo rettangolo AOB di figura ha sicuramente la somma dei cateti che vale 1 in quanto il punto P appartiene alla retta di equazione x + y = 1. Detta S l'area del triangolo si ha
,  

Posto: OB = x , OA = y, OH = h  si ha
e con il cambio di variabile
si ottiene
 
La funzione ottenuta e' una funzione pari, dunque simmetrica rispetto all'asse delle ordinate e che, non essendo costante, ha in t = 0 un massimo oppure un minimo.
Osserviamo che per t = 0 la quantità al numeratore ha il suo massimo e la quantità al denominatore assume il suo valore minimo quindi la funzione ha il suo massimo in t = 0 cioe' quando  x = y  vale a dire quando il triangolo AOB e' la meta' di un quadrato di lato 1/2 quindi h e' la meta' della diagonale

  • Dato un triangolo rettangolo ABC, di ipotenusa AB, la somma del raggio r della circonferenza inscritta e del raggio R della circonferenza ex-inscritta tangente all'ipotenusa e ai prolungamenti dei cateti e' pari alla somma dei cateti.

   r + R  =  AC + CB
Tracciate le circonferenze inscritta ed ex-inscritta, posti CB = a,    AC = b,  AB = c, e tenuto conto che se da un punto esterno ad una circonferenza si mandano le due tangenti i due segmenti di tangente sono uguali si ha:

D'altra parte

Sommando le ultime due espressioni, dividendo ambo i membri per due e sommando ad ambo i membri  r si ottiene